Вопрос 7

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Расширенное правило суммы

Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что

последние существуют):

Расширенное правило произведения

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел

знаменателя не равен нулю:

Предел степенной функции

где степень p - действительное число. В частности,

Если f ( x ) = x, то

Предел показательной функции

где основание a > 0. 

Предел логарифмической функции

где основание a > 0. 

Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что   для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой

Точки x = a. Тогда, если

то То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя

другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L. 

   Пример 1

Найти предел  .

Решение.

   Пример 2

Найти предел  . Решение.

Используя основные свойства пределов (правило суммы, правило частного и предел

степенной функции), получаем

   Пример 3

Зная, что   и  , вычислить предел  .

Решение.

   Пример 4

Вычислить предел  .

Решение.

Известно, что   для всех x. Тогда можно записать

Разделив это неравенство на 2x − 7 > 0, получаем

(Поскольку мы рассматриваем большие и положительные значения x, и, следовательно, 2x − 7 > 0, то знаки неравенства при делении не изменяются.) Выполняя предельный переход, получаем

Вычислим левый и правый пределы:

Отсюда, по теореме о "двух милиционерах" следует, что

   Пример 5

Вычислить предел  .

Решение.

Известно, что   для всех x. Тогда

Вычтем 5x из всех частей неравенства.

Разделив на  , получаем

(Знаки неравенства при этом не меняются, поскольку   является положительным числом при  .)  Вычислим левый и правый пределы.

Как видно, оба предела равны друг другу. Следовательно, по теореме "o двух милиционерах"

Вопрос 9

Вопрос 10

Непрерывность функции в точке.

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется 

непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе: 

            Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но

не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка

х₀ – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

 Пример разрывной функции:

            Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого

положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих

условию верно неравенство         .

            Определение.  Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение

функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + (x)

где (х) – бесконечно малая при хх₀.

Свойства непрерывных функций.

1. Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция,

непрерывная в точке х₀.

2. Частное двух непрерывных функций  – есть непрерывная функция при условии,

что g(x) не равна нулю в точке х₀.

            3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x),  v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то

функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

            Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы

о пределах.

Непрерывность некоторых элементарных функций.

            1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.

2. Рациональная функция   непрерывна для всех значений х,

кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида

непрерывна на всей области определения.

            3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.

Докажем свойство 3 для функции y = sinx.

Запишем приращение функции y = sin(x + x) – sinx, или после преобразования:

Действительно, имеется предел произведения двух функций   и  . При

этом функция косинус – ограниченная функция при х0  , а т.к.

предел функции синус  , то она является бесконечно малой при х0.

Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую,

следовательно это произведение, т.е. функция у – бесконечно малая. В соответствии с

рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого

значения х = х₀ из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая

величина.

Вопрос 11

Вопрос 12

Сравнение бесконечно малых функций

  Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x0 и β(x) отлична от нуля в некоторой

окрестности точки х0 (за исключением, быть может, самой точких0). Если  = 0,

то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x) . В этом случае пишут

α(x) = o(β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x). Если  = А ≠ 0 ( A - число),

то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости.

В этом случае пишут α(x) = O(β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x). Если  = ∞,

то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).    Если  = 1, то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).   В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой

более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок.

Поэтому вводится следующее правило: если

,

то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x).   Теорема. Для того, чтобы две функции f = f (x) и g = g (x), f (x) ≠ 0, g (x) ≠ 0, были эквивалентными

при х → х0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий

f - g = o(f ) или f - g = o(g).

  Доказательство необходимости.

Пусть , тогда , откуда , то есть g − f = o(g).

Аналогично из условия доказывается g − f = o(f )

Вопрос 13