Индуктивности Кирхгофской обмотки со всеми прочими обмотками ,где n – принимает любое значение от .

При резко выраженной зубчатости при вращении ротора изменяются не только взаимная индуктивность между контурами статора и контурами ротора, но и взаимные индуктивности между контурами, расположенных на одной и той же части машины, а также индуктивности всех контуров.

В общем случае все индуктивности и взаимные индуктивности зависят от размеров обмоток и магнитопроводов и являются функциями углового положения ротора . Система уравнений Кирхгофа для напряжений обмоток состоит из пяти уравнений, составленных для каждого из контуров.

Уравнение для Кирхгофского контура имеет вид:

, где - трансформаторная ЭДС, связанные с изменением токов в обмотках при

фиксированных взаимных индуктивностях.

- ЭДС вращения, связанных с изменением взаимных индуктивностей при

фиксированных токах, эта ЭДС появляется только при вращении ротора с некоторой угловой скоростью .

На изменение энергии магнитного поля расходуется мощность

Таким образом, на изменение энергии магнитного поля идет полностью сумма мощностей, определяемых как произведения токов контуров на трансформаторную ЭДС (первое слагаемое), а также полу сумма мощностей, определяемых как произведение токов контуров на ЭДС вращения (второе слагаемое).

Мощность преобразуемая в механическую , последнее уравнение позволяет сделать вывод, что электромеханическое преобразование энергии связано только с ЭДС вращения, в то время как трансформаторная ЭДС в этом преобразовании участия не принимает. Заметим, что мощность, расходуемая на изменение энергии магнитного поля, не теряется безвозвратно и в среднем равна нулю. Это объясняется тем, что во вращающейся машине все величины (токи, индуктивности, взаимные индуктивности и т. д.) изменяются периодически. Электромагнитный момент М, действующий на ротор запишется :

.

Таким образом, электромагнитный момент равен частной производной энергии магнитного поля W по углу поворота ротора при фиксированных токах в контурах

.

Из последнего уравнения следует, что непременным условием осуществления в машине электромеханического преобразования является изменение индуктивностей или взаимных индуктивностей обмоток при повороте ротора.

Машина может выполнять свои функции, если производная хотя бы одного параметра по углу поворота ротора не равна нулю, , так как только в этом случае и

Теория электромеханического преобразования энергии применима для любого электромеханического преобразователя.

Уравнение электрических машин записываются на основе теории электрических цепей исходя из того, что преобразование энергии происходит в воздушном зазоре и магнитное поле известно. Математической моделью для бесконечного спектра полей и любого числа контуров на роторе и статоре является модель обобщенного электромеханического преобразователя – электрической машины с m и n обмотками на статоре и роторе.

Уравнения обобщенного электромеханического преобразователя дают возможность получить математическую модель для решения широкого класса задач, встречающихся в современном электромашиностроении. Это позволяет описать математическую теорию электрических машин.

1-2. Электромеханическое преобразование в машинах постоянного и переменного тока.

Ниже покажем непосредственное преобразование энергии в машинах постоянного и переменного тока, а также в трансформаторах, рис. 1.

а) Машины постоянного тока

Рис.1.

Генераторы на рисунке представлено объяснение принципа действие. Если силой F перемешать проводник то в нем ( по правилу правой руки) наведется ЭДС.

=Вlv, где B –индукция, l – длина проводника, V – скорость движения проводника. ЭДС направлена в проводнике от нас.

Если теперь концы проводника замкнуть, то по нему пойдет ток, имеющий такое же направление, как и ЭДС. В результате взаимодействие тока i в проводнике и магнитного поля возникнет электромагнитная сила ( правило левой руки) , где i – ток в проводнике. При равномерном движении проводника , если обе части умножить на V , то получим , отсюда видно, что механическая мощность FV в нашем элементарном генераторе преобразуется в электрическую мощность. Мощность, отдаваемая во внешнюю цепь, может быть найдена из уравнения напряжений.

, умножив уравнение на i, получим , где Ui – электрическая мощность, отдаваемая проводником во внешнюю цепь (она является частью полной электрической мощности , полученной в результате преобразования механической мощности). I²R – электрические потери в проводнике.

Двигатель.

Та же элементарная машина, может работать двигателем, т.е. преобразовывать электрическую энергию в механическую. Подведем к проводнику напряжение U так, чтобы ток i в проводнике имел указанное на рисунке направление. При этом возникнет электромагнитная сила, которая согласно правилу левой руки заставит проводник передвигаться влево. В проводнике появится ЭДС (правило правой руки), направленная против тока i и против напряжения U. Следовательно, напряжение U уравновешивается ЭДС и падением напряжение lR. , умножив уравнение на ток i, получим , где i²R – электрические потери в проводнике, ei – та часть подведенной электрической мощности Ui, которая преобразуется в механическую мощность т.к. учитывая , , получим .

Приведенные соотношения показывают, что электрическая машина обратима, т.е. может работать и генератором и двигателем.

б) Трансформаторы.

Процесс преобразования энергии в трансформаторе происходит за счет электромагнитной индукции.

В результате изменения потока в обмотках наводятся ЭДС.

, где , первичная обмотка.

, где , вторичная обмотка. Обмотка с ЭДС может быть использована как источник переменного тока той же частоты, но другого напряжения . Пренебрегая потерями на перемагничивание, рассмотрим баланс мгновенных мощностей в трансформаторе. Запишем уравнение ЭДС для первичной обмотки

, умножив уравнение на ток i₁, получим .

Часть этой мощности i²₁R выделяется в виде тепла в обмотке 1, другая часть передается посредством электромагнитного поля в обмотку 2. Мощность , поступающая в обмотку 2 частично выделяется в ней в виде тепла ( l²₂R₂), а оставшаяся ее часть передается нагрузке ( U₂l₂).

в) Электромеханическое преобразование энергии в электрической машине переменного тока.

Электромагнитная схема простейшей электрической машины состоит из двух основных элементов: неподвижного статора и вращающегося ротора, сердечников статора и ротора.

Для усиления магнитной связи между обмотками магнитопровод статора и ротора набираются из пластин электротехнической стали, обладающей высокой магнитной проницаемостью.

Электромеханическое преобразование энергии в машине связано с ЭДС, которые индуктируются в обмотках вследствие изменения их взаимного расположения в пространстве.

Взаимная индуктивность зависит от угла поворота ротора. При вращении ротора с угловой скоростью угол поворота линейно увеличивается и в результате его изменения в обмотке ротора индуктируется ЭДС

Рассмотрим преобразование энергии в генераторном режиме электрической машины. Уравнение равновесного состояния ЭДС , умножив уравнение на ток i_1, получим электрическую мощность , часть этой мощности l²₁R₁ выделится в виде тепла, оставшаяся часть будет отдана нагрузке, напряжение U₁ =R_Hl₁ на выводах обмотки, совпадающее с напряжением нагрузки, так же изменяется с частотой f.

В результате взаимодействия магнитного поля тока i₂ с током i₁ ротора будет действовать электромагнитный момент M. Для определения момента M можно исходить из того, что его работа при повороте ротора на малый угол равна изменению энергии магнитного поля dW за счет изменения взаимной индуктивности при и , то есть , откуда

В установившемся режиме, когда ротор вращается с постоянной скоростью , электромагнитный момент M должен быть уравновешен внешним моментом M_b

.

При этом через вал к ротору машины должна быть подведена механическая мощность , которая преобразуется в равную ей электрическую мощность т.е. в генераторном режиме механическая мощность преобразовывается в электрическую. Происходит электромеханическое преобразование энергии.

Та же простейшая машина может работать двигателем, преобразуя электрическую энергию в механическую. Для осуществления этого режима нужно присоединить обмотку 1 к сети с таким переменным напряжением U₁, изменяющимся с частотой f , чтобы переменный ток i₁ всегда был направлен противоположно ЭДС e₁. Записав для образовавшейся электрической цепи уравнение напряжений и умножив его на i₁, получим .

Часть этой мощности i₁²R₁ выделяется в виде теплоты в обмотке 1, остальная часть , преобразуется в механическую мощность , передаваемую от ротора через вал машине – орудию. Таким образом, простейшая электрическая машина обратима, т.е. она может работать и генератором, и двигателем.

1-3. Законы Электромеханики

Рассмотрим три основных закона электромеханики.