19. Графічне зображення варіаційних рядів розподілу. Полігон, гістограмма, кумулята. Приклади.

. Для графічного зображення рядів розподілу використовуються такі види графіків, як полігон, гістограма та кумулятивний полігон (або кумулята).

Полігон використовують для зображення варіаційних рядів розподілу. Під час його побудови для дискретного варіаційного ряду в системі прямокутних координат по осі абсцис відкладають значення ознаки, а по осі ординат – частоти або частки. Точки послідовно з’єднуються і набувають вигляду ламаної лінії. Для кращого сприймання і читання графіка рекомендується замикати полігон, тобто з’єднати його крайні точки з точками на осі абсцис. При цьому рекомендується по осі абсцис вибирати точки, що близькі до крайніх точок дискретного варіаційного ряду, проте лежать ліворуч від мінімального значення варіанти та праворуч від максимального значення варіанти.

Найбільш поширеним видом графічного зображення інтервальних рядів розподілу є діаграма площин – гістограма. Спосіб її побудови залежить від того, які інтервали має ряд розподілу – рівні чи нерівні.

При графічному зображенні інтервального ряду розподілу з рівними інтервалами по осі абсцис відповідно до прийнятого масштабу відкладають нижню і верхню межі інтервалів, а по осі ординат – частоти або частки. Потім для кожного інтервалу будують прямокутник, основою якого є відрізок на осі абсцис, а висота пропорційна частоті (частці) інтервалу.

Кумулятивний полігон являє собою ламану лінію, що починається на осі абсцис у точці, яка відповідає нижній межі першого інтервалу (якщо вона будується для інтервального варіаційного ряду). По осі ординат відкладаються кумулятивні частоти або кумулятивні частки, тобто сума накопичених частот чи сума накопичених часток. Остання точка кумулятивного полігону має координати: верхня межа останнього інтервалу, обсяг сукупності.

20. Середня варіаційного ряду. Основні види степеневих середніх. Правило мажорантності. Властивості середньої арифметичної.

Середня варіаційного ряду

Середньою з. в. р. у₁, у₂, …, у_п називається число

. (1.1)

Середньою д. в. р. називається число

. (1.2)

Середньою і. в. р. називається число

. (1.3)

Середні величини поділяються на два великих класи: степеневі середні та структурні середні.

Степенева середня в узагальненій формі має вигляд:

де – середня величинаx _і – індивідуальні значення варіативної ознаки (варіанти) m – показник степеня середньої n – число варіант, середня яких обчислюється.

Конкретний вид середньої залежить від степеня

Якщо частку окремої ознаки позначити через відносну величину структури:

, (5.12)

то формули для розрахунку середньої матимуть вигляд:

середня арифметична середня квадратична середня кубічна  середня гармонічна .

Різні види середніх, обчислені на основі однієї й тієї самої вихідної інформації, мають різну величину. Співвідношення між різними видами середніх характеризується правилом мажорантності: чим більший ступінь середньої, тим більшу величину має сама середня. У математичному вираженні правило мажорантності має вигляд:

_куб > _кв > _ар > _геом > _гарм .

Це правило використовується у математиці, яка має справу з абстрактними числами. У соціально-економічній статистиці це правило не може бути застосовано, оскільки обчислення різних середніх для однієї й тієї самої сукупності недоцільне.

середня арифметична застосовується у тих випадках, коли обсяг варіативної ознаки для всієї сукупності являє суму індивідуальних значень її окремих елементів. Середня арифметична має певні математичні властивості, а саме:

1. Алгебраїчна сума відхилень кожної варіанти від середньої арифметичної дорівнює нулю. Математично це записується таким чином: (х _і – ) = 0.

2. Якщо кожну варіанту збільшити або зменшити на будь-яке постійне число А, то середня арифметична відповідно збільшиться або зменшиться на те ж саме число А. У математичному записі це має вигляд: .

3. Якщо кожну варіанту збільшити або зменшити в одну й ту саму кількість разів А, то середня арифметична відповідно зміниться в стільки ж разів.

У формалізованому вигляді це записується рівнянням .

4. Якщо частоту кожної варіанти збільшити або зменшити в одне й те саме число разів, то середня арифметична не зміниться. Математично це записується у вигляді формули:

.

5. Сума квадратів відхилень кожної варіанти від середньої арифме-тичної прямує до мінімуму. Ця властивість записується у вигляді формули: (х _і – ) ² = min.