9

Тема 12. Основы финансово-экономических расчетов.

1. Определение наращенной суммы на основе простых, сложных и смешанных процентов

2. Математическое дисконтирование и банковский учет

3. Наращение процентов и инфляция

4. Консолидация платежей

5 Методы составления планов погашения обязательств

1. Определение наращенной суммы на основе простых, сложных и смешанных процентов

Финансово-экономические расчеты представляют собой совокуп­ность методов определения стоимости денег в результате проведения экономических операций. Суть расчетов заключается в исчислении стоимости денег в заданный момент времени в зависимости от опре­деленных условий, к которым относятся время, процентная ставка, условия финансовой операции.

Совместный их результат часто не очевиден (кроме простейших ситуаций). Необходим ко­личественный анализ, основанный на расчетах простых и слож­ных процентов.

Под процентными деньгами или просто процентами (interest), понимают абсолютную величину дохода от предоставления де­нег в долг в любой форме: выдача ссуды, продажа товара в кре­дит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покуп­ка сберегательного сертификата или облигации и т.д.

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере про­центной ставки — отношение дохода (процентных денег) к сум­ме долга за единицу времени; измеряется в процентах или в ви­де десятичной или натуральной дроби.

Временной интервал, за который начисляют проценты, назы­вается периодом начисления. Проценты могут выплачиваться по мере их начисления (простые проценты) или присоединяться к основной сумме долга (сложные проценты).

В зависимости от момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами выделяют обычные и авансовые проценты. Обычные (декурсивные, postnumerando) проценты начисляются в конце периода. Если доход за поль­зование денежными средствами определяется и выплачивается в момент предоставления кредита, то данная форма расчетов называет­ся авансовой, или учетом, а применяемые при этом проценты — аван­совыми (антисипативными, prenumerando). Они начисляются в начале периода.

Процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов называют наращением или ростом этой суммы, а саму сумму наращенной.

Процентные ставки могут быть фиксированными, дискретно изменяющимися и непрерывными.

Наращение по простой процентной ставке

Простые процентные вычисления применяются в финансовых обязательствах, как правило, на срок не больше года. При простых процентах расчеты производятся исходя из постоянной ба­зы, в качестве которой выступает первоначальная сумма долга. Под наращенной суммой понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Наращенная сумма определяется умножением начальной суммы на множитель наращения.

Для записи формулы наращения простых процентов примем обозначения:

I— проценты за весь срок ссуды;

РV — первоначальная сумма долга;

FV — наращенная сумма, или сумма в конце срока;

i — ставка наращения (десятичная дробь);

n — срок ссуды (в годах).

Срок ссуды обычно измеряется в годах, соответственно i — годовая ставка. Каждый год приносит проценты в сумме PVi. На­численные за весь срок проценты составят I = PVni.

Тогда наращенная сумма (формула простых процентов): FV =PV(l +ni),

где (1 + ni) — множитель наращения простых процентов.

Проценты за весь срок ссуды составляют: I = FV-PV.

Продолжительность инвестирования (срок ссуды):

Величина процентной ставки:

Дисконтирование, или учёт, — это определение современной стоимости денег (PV) на основе будущей (FV). В этих расчетах величина, называется приведенной стоимостью суммы FV. Приведение стоимости денег может быть осуществлено не только на начало финансовой операции, но и на любой момент времени.

Расчет современной стоимости денежных средств, предоставляемых в долг, проводят по формуле:

При сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору. Величину n — общий срок ссуды выразим в виде дроби: , где t — число дней ссуды; k — число дней в году, или временная база.

При расчете простых процентов предполагают, что k — 360 (12 месяцев по 30 дней) — это обыкновенные, или коммерческие проценты, или k = 365, 366 дней — точные проценты.

Наращенная сумма (при краткосрочных ссудах):

Отсюда находим срок ссуды: ;

величину процентной ставки:

Если ставка процентов изменяется во времени, то нара­щенная сумма (простые переменные ставки), будет определяться по формуле:

SV = РV(1 + n₁i₁+ n₂i₂ + ... + n_ti_t), где i- ставка простых процентов в периоде t; n – продолжительность периода.

В средне - и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а при­соединяются к сумме долга, для наращения, как правило, применя­ются сложные проценты. В соответствии с этим процесс роста пер­воначальной суммы происходит с ускорением. Ускорение вызвано тем, что на каждом этапе во времени (раз или несколько раз в год — каждый квартал, месяц и т.д.) начисленные проценты присоединя­ются к сумме, которая служила базой для их определения. Такой процесс называют капитализацией процентов.

Наращение по сложным процентам можно рассматривать как пoследовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

Наращение по сложным процентным ставкам

Пусть проценты капитализируются один раз в год (годовые про­центы) на протяжении n лет. Очевидно что в конце первого года проценты равны величи­не РVi, а наращенная сумма составит: PV + PVi = PV(1 + i). К концу второго года она достигнет величины: РV(1 + i) + РV(1 + i) i = РV(1 + i)² и т.д. В конце n -го года наращенная сумма по сложным процентам: FV = PV(1 + n)ⁿ.

Проценты за этот период равны I = FV ·РV = РV[(1 + i)ⁿ -1] и уве­личиваются с каждым годом.

Величину (1 + i)ⁿ называют множителем наращения сложных процентов.

Значения этого множителя для целых чисел n приводятся в таблицах сложных процентов для п, равных от 1 до 50, 60, 70, 80, 90, 100 лет.

Если п > 50 и является целым числом, то искомую величину находят как произведение табличных значений для n₁, и n₂

Определение наращенной суммы по смешанным процентным ставкам

Наращение по смешанным процентным ставкам применяет­ся для случаев, когда n не является целым числом: , где n_а — целое число лет; п_b — дробная часть года.

В современных условиях проценты капитализируются обыч­но не один, а несколько, m раз в году: по полугодиям, кварталам и т.д. В таком случае годовая ставка называется номинальной став­кой процентов и обозначается через j. Тогда при m раз начисле­ний процентов в году ставка, действительно начисляемая в каж­дом периоде, будет равна: .

Формула наращения сложных процентов (при m раз начисле­ний в году): .

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка дает тот же процент, что и m- разовое наращение в год по ставке . Обозначим эффективную ставку через i, поскольку она явля­ется годовой. Множители наращения по определению должны быть равны: . Следовательно, эффективная ставка: