8.Функция Эйлера. Вывод явной формулы для функции Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.

§ 4. Функция Эйлера

Рассмотрим некоторые свойства функции Эйлера.

1. Если р - простое, то р -1.

Доказательство.

1,2,3,…, p-1- числа, не превосходящие р и взаимно простые с p. Значит, по определению функции Эйлера, р -1.

2 .

Доказательство.

Идея: от общего количества натуральных чисел, не превосходящих отнимем количество целых чисел, не взаимно простых с p. Числа, не взаимно простые с p, имеют вид kp, причем p Следовательно, количество таких чисел ровно , но тогда количество чисел, взаимно простых с будет равно

Определение. Функция f(n), определенная на множество натуральных чисел, называется мультипликативной, если для любых взаимно простых натуральных чисел aи b

F(a

3. Функция Эйлера мультипликативна, т.е. если (a,b)=1, .

доказатальство. Натуральные числа от 1 до ab расположим в виде таблицы:

1. 2 … r … b

b+1 b+2 … b+r … 2b

2b+1 2b+2 … 2b+r … 3b

……………………………………………………………

(a-1)b+1 (a-1)b+2 … (a-1)b+r … ab

Подсчитаем это же число другим способом.

Заметим, что первая строка таблицы есть набор натуральных чисел, не превосходящих b, а значит среди них чисел,взаимно простых с b.Но если число rвзаимнo просто с b,то и все числа r-го столбца взаимно просты с b.Все числа r-го столбца сравнимы меду собой по модулю b,а сравнимые числа имеют одинаковый НОД с модулем b. Следовательно, в таблице столбцов чисел, взаимно простых с b. Пусть r-ый один из таких столбцов. Он представляет собой полную систему вычетов по модулю a (систему чисел вида bx+r, где х пробегает полную систему вычетов по модулю a: 0,1,2, … , a-1). Но тогда в этом столбце чисел,взаимно простых с а. Если число взаимно просто с b и с а, то оно взаимно просто с ab. Итак, в таблице столбцов чисел, взаимно простых с b, каждый такой столбец содержит чисел, взаимно простых с а. Значит в таблице чисел, взаимно простых как с а, так и с b, т. е. взаимно простых и с ab. Следовательно, =

4. Пусть n= – каноническое раз ложение натурального числа, тогда

Доказательство.

Т.к. функция Эйлера мультипликативная, то получаем:

Пример. N=12, 12=

§ 5. Теоремы Эйлера и Ферма

Теорема Эйлера. Если m> 1 и (а, m) = 1, то l(mod m).

Доказательство. Действительно, если x пробегает приведённую систему вычетов по модулю m: , тогда ах пробегает тоже

приведённую систему вычетов: .

Поскольку числа приведённой системы вычетов набираются из одних и тех же классов, взаимно простых с модулем, то для каждого числа второй системы найдется сравнимое с ним число первой системы.

……………

Перемножаем почленно эти сравнения:

Подчёркнутые произведения состоят из одних и тех же чисел, взаимно простых с модулем. Значит, последнее сравнение можно разделить на подчёркнутое одно и то же число (т.к. оно взаимно просто с модулем). В

результате получаем

Теорема Ферма. Пусть a Z, р— простое. Если (а,р)=1, то

Доказательство следует из теоремы Эйлера при m=р, т.к. р -1.

Следствие. Для любого целого а и простого p (mod р).

Доказательство. 1. Если а не р, то по теореме Ферма

Умножим обе части сравнения на число а, получим

2. 2. Если а р, то a 0(modр) и 0(mod р). Следовательно,

Пример. Найти остаток от деления на 52.

Решение. Заметим, что число по модулю m сравнимо со своим остатком от деления на m.

1)Заменим основание степени сравнимым с ним числом 171 15(mod 52), тогда по свойствам сравнений (mod52).

2)Т.к. (15,52) = 1, то =l(mod 52) (теорема Эйлера). Найдем

(52) = 52 = 24, тогда = l(mod 52).

3)Разделим 2147 на 24 с остатком:

2147	24
192	89
227
216
11

Возведем обе части сравнения = l(mod 52) в 89 степень и умножим на . Получим

4)Найдем остаток от деления на 52.

Умножив на 15, получим

Возведем обе части в куб:

Перемножим это сравнение и (mod 52) и получим (mod 52).

тогда (mod52), (mod 52), (mod52), (mod 52). Используя транзитивное свойство сравнений, видим, что остаток от делении на 52 равен 7.