§ 3. Кольцо классов вычетов.
Введём на множестве классов по модулю m операции сложения и умножения классов.
Определение.Суммой
классов
называется класс
,
т.е. класс чисел, содержащий число а +
b. Произведением
классов
называется класс
,
т.е. класс чисел, содержащий число ab.
Заметим, что из свойств сравнений
следует, что результаты операций не
зависят от выбора представителей.
Примеры.
По модулю 5,
,
т.к. 3 + 4 = 7
(7
2(mod5)).
,т.к.
2
Свойства классов вычетов
.
(modm). (Таким
образом, сравнение чисел можно заменить
равенствам классов, и наоборот).
Доказательство.
Если
а
(mod
m),
то для любого
(mod
m).
Тогда по транзитивности получаем
x
(modm).
Следовательно,
.
Еслиx
(mod
m). Т.к.
,
то
(modm),
т.е. х
Следовательно
,
тогда
.
Если
,то
a
т.е. а
b(mod
m).
Если два класса имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают.
Доказательство.
Пусть
,
тогда
.
Следовательно,
.
По модулю m существует ровно m классов вычетов
.
Доказательство.
1. Классы не пусты (свойство 1).
2. Она различны (из единственности остатка от деления на m).
3.
Вcе
числа одного класса при делении на m
дают один и тот же остаток: остатками
могут быть только 0,1,2,...,m -1, т.е. записаны
все классы вычетов и любое целое число
принадлежит одному из этих классов.
Множество всех классов вычетов по
модулю m обозначают
.
-множество
целых чисел, имеющих остаток 1 при
делении на 6, и т.д.
Теорема 6. Множество классов вычетов по данному модулю с операцией сложения — коммутативная группа.
Доказательство.
По определению
представляет собой единственный
класс
по
модулю m,
т.е. сложение определено на множестве
.Сложение классов ассоциативно:
3.Роль
нейтрального элемента выполняет класс
.
4.
Для каждого класса
противоположным классом является-
,т.е.
класс, содержащий -a;
.
5.
Сложение классов коммутативно:
.
Пример.
Напишем таблицы сложения и умножения
для кольца
Мы имеем 5 классов вычетов по модулю
5:
.
Таблицы сложение и умножения имеют вид:
-
+
Теорема 7. Множество классов по данному модулю представляет собой коммутативное кольцо с единицей.
Множество <
классов
с операцией сложения представляет
собой коммутативную группу.замкнуто относительно умножения классов, т.к. по определению
.Умножение коммутативно:
Умножение ассоциативно:
Умножение и сложение связаны дистрибутивным законом:
Роль единицы играет класс .
Установив, что множество классов есть коммутативное кольцо, мы можем считать доказанными все те свойства, которые верны для групп, для коммутативных колец: единственность нуля, свойства знаков,
дистрибутивность умножения относительно разности.
Теорема
8.
Кольцо классов по составному модулю
имеет делители нуля. Доказательство.
Пусть m-
составное, m
= ab, 1<а<m,1<b<m.
Тогда
делители
.
Теорема 9. является полем <=> m- простое.
Доказательство. Достаточность.
Пусть
m
= р простое. Докажем, что
поле. Вспомним, что полем называется
коммутативное кольцо с единицей,
отличной от нуля, в котором всякий
ненулевой элемент имеет обратный. В
нашем случае кольцо коммутативно и
.
Поэтому остаётся лишь доказать, что
для любого
,
существует обратный элемент.Если
,
то а не делится на р, т.е. (а, р) = 1 (свойство
простых чисел). Тогда существуют целые
u,
v, что аиu+
pv=1(признак взаимно простых чисел) или
аu-1=-pv;
аи -1 делится на р. Следовательно, аu
(mod
р) или
Необходимость.
Пусть
- поле, тогда m
- простое, иначе в
были
бы делители нуля. Докажем, что в поле
нет делителей нуля. Пусть
Т.к.
каждый, отличный от нуля элемент в поле
имеет обратный, то
существует
Итак, в поле произведение равно нулю, только если хотя бы один из сомножителей равен нулю.