7. Классы вычитов. Полная и приведенная система вычитов.

§ 2. Полная и приведенная система вычетов по модулю m.

Зафиксируем натуральноеm> 1 и рассмотрим произвольное целое число а. Числа, сравнимые с а по модулю m (равноостаточные с а), образуют класс

чисел по модулю m, и он обозначается . Класс . Любое число класса называется вычетом этого класса по модулю m. Вычет, равный самому остатку, называется наименьшим неотрицательным вычетом. Вычет, самый малый по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим вычетом.

Определение.Полной системой вычетов по модулюm называется совокупность чисел, взятых по одному из каждого класса вычетов по модулю m.

Пример: m = 6. Так как остатки при делении на 6 могут быть 0,1,2,3.4.5. то по модулю 6 имеется шесть классов вычетов: . 12,7,8, - 3,10,17 - полная система вычетов по модулю шесть, т.к. 12 ,7 ,8 , - 3 ,10 ,17

0,1,2,3,4,5 -полная система наименьших неотрицательных вычетов, а 0,1,2,3,-2,-1 - полная система абсолютно наименьших вычетов по модулю 6.

Теорема 2 (признак полной системы вычетов). Любая система mчисел, попарно не сравнимых по модулю m, является полной системой вычетов по модулю m.

Доказательство. По условию числа попарно не сравнимы по модулю m, т.е. взяты из разных классов. Т.к. чисел m, то вычет каждого класса присутствует в системе. Значит, это система - полная система вычетов по модулю m.

Теорема 3. Если (а, m)=1 и х пробегает полную систему вычетов по модулю m, то ах+ Ь, где b Z, тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m.

Доказательство. Пусть х пробегает полную систему вычетов по модулю m: тогда чисел тоже m. Осталось показать, что эти числа попарно не сравнимы по модулю m. Предположим, что ).

Тогда по свойствам сравнений a = a (modm), и так как (а,m)=1, то (modm) (свойство 13); пришли к противоречию. Следовательно, +b принадлежат различным классам. По признаку имеем полную систему вычетов по модулю m. Если (а, m) = d, то и все числа класса имеют с m тот же самый НОД (свойство 14 сравнений). Класс чисел называется взаимно простым с модулем m, если (a, m)=1.

Определение. Приведённой системой вычетов по модулю m называется совокупность вычетов, взятых по одному из каждого класса, взаимно простого с модулем.

Примеры. 1) 1,2,3,4 - приведенная система вычетов по модулю 5. 2) 1,3, - 3, -1 - приведенная система вычетов по модулю 10.

Определение. Пусть m N. Функцией Эйлера называется функция натурального аргумента m), которая определена как количество натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m.

Примеры. = 1, (3)=2, (6) = 2.

Заметим, что в полной системе вычетов по модулю m: 1,2,3,4,...,mи ровно m) вычетов, взаимно простых с m (согласно определению .

Теорема 4 (признак приведённой системы вычетов).

Совокупность чисел, попарно не сравнимых по модулю mи взаимно простых с m, образует приведённую систему вычетов по модулю m. Доказательство. Поскольку числа попарно не сравнимы, то они взяты из различных классов. Т.к. они взаимно просты с модулем, то взяты из классов, взаимно простых с модулем. Поскольку их штук, т.е. столько же, сколько классов вычетов взаимно простых с модулем, то вычет каждого такого класса присутствует в системе. Значит, это приведенная система вычетов по модулю m.

Теорема 5. Пусть а Z, m N. Если (а,m) = 1 и в выражении aх переменная х пробегает приведённую систему вычетов по модулю m, то и само выражение ах пробегает приведённую систему вычетов по модулю m.

Доказательство. Пусть х пробегает приведённую систему вычетов: (1). Тогда ах пробегает: (2). Воспользуемся для системы (2) признаком приведённой системы вычетов.

1. Количество чисел в системе (2) .

2. Числа попарно не сравнимы по модулю m. В самом деле, пусть i j и a (mod т). Т.к. (а, m) = 1, то (mod m) - противоречие с

тем, что (1) приведенная система вычетов.

3.Т.к (a,m)=1 и ( , m) = 1, то (a ,m) = 1 (свойство взаимно простых чисел). По признаку система (2) - приведенная система вычетов по модулю m.