§3. Проверка результатов арифметических действий

С помощью сравнений легко указать необходимые признаки правильности и достаточные признаки неправильности результатов выполнения арифметических действий сложения, вычитания и умноженияцелых чисел.

Результат действия сложения, вычитания и умножения есть целая рациональная функция компонент, а потому если вместо данных чисел взять наименьшие положительные или наименьшие по абсолютной величине вычеты этих чисел по какому-либо модулю, то результат действий над этими вычетами должен быть сравним по тому же модулю с наименьшим вычетом проверяемого результата. Если сравнение не имеет места, то результат получен неверно. В качестве модуля удобнее брать число, наименьшие вычеты по которому легко вычисляются (например, для десятичной системы счисления: 9,11 или 5). В случае 9 можно брать вместо наименьших вычетов просто сумму цифр, в случае 11 § разность между суммами цифр, стоящих на четных и нечетных местах (считая справа налево).

Следует отметить, что неправильность соответствующего сравнения гарантирует неправильность выполнения действий. Правильность соответствующего сравнения лишь подтверждает, но не гарантирует правильность результата. Дело в том, что проверкой с помощью 9 или 11 не может быть обнаружена ошибка на число, кратное 9 или 11, соответственно. Поэтому чаще всего проверяют одновременно числами 9 и 11. В этом случае возможна ошибка на число, кратное 99, но вероятность такой ошибки очень мала.

Пример 1. Проверим правильность выполнения действий (с помощью 9 и 11):

3740 297 - 561245 = 8179 052.

а)Проверка девяткой. Заменяем числа суммами их цифр:

37 - 23 ≡ 32 (mod 9), 14 ≡ 32 (mod 9).

Сравнение подтверждает, но не гарантирует правильности выполнения действий.

б)Проверка числом 11.

8740 297 ≡ (7+ 2 + 4 +8)-(9 + 0 +7) ≡5 (mod 11),

561245 ≡ (5 + 2 + 6) - (4 +1 + 5) ≡ 3 (mod 11),

8179 052 ≡ (2 + 0 + 7 + 8) - (5 + 9 +1) ≡ 2 (mod 11).

Получим: 5 - 3 ≡ 2 (mod 11), 2 ≡ 2 (mod 11).

Проверка одиннадцатью подтверждает правильность получения результата (хотя абсолютной гарантии нет, так как возможна ошибка на число, кратное 99).

Пример 2. Проверим правильность выполнения действий (с помощью 9):

375 426*3846 = 1443 888 276. Заменяем числа суммами их цифр:

27*21≡51 (mod 9).

Сравнение неверное, следовательно, действие выполнено неправильно. Результат деления проверяется с помощью контроля умножения (делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток). Вообще следует иметь в виду, что соблюдение контроля при неверных вычислениях связано, по меньшей мере, с двукратной ошибкой в вычислениях, поэтому следует признать контроль (даже одним числом) действенным.

15. Определение длины периода бесконечной десятичной дроби

Рассмотрим положительные правильные несократимые обыкновенные дроби, т.е. рациональные числа вида a/b , где а и b - натуральные числа и (a,b)=1.

Если а>b, то представим дробь a/b в виде n+a'/b где 0<а'<b, а n - целое число. Обратив a'/b в десятичную дробь 0,а₁,а₂..., получим, что a/b=n,а₁,а₂… .Поэтому достаточно рассмотреть лишь правильную дробь. Будем считать, что а<b.

Известно, что несократимая обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда ее знаменатель не делится ни на какое простое число, отличное от 2 и 5 . Действительно, a/(2^k*5^l )=(a*2^l *5^k)/10 ^k+l

Если же знаменатель несократимой дроби a/b делится на простое число p, отличное от 2 и 5 , то эта дробь обращается в некоторую бесконечную десятичную дробь: 0,а₁,а₂ а₃ , … , (3)

элементы а₁,а₂ а₃ , … , которой получаются из следующего ряда делений с остатком (так мы столбиком делим а на b):

10а = bа₁ + r₁, 0 < r₁< b,

10r₁,= bа₂ + r₂, 0 < r₂< b,

10r₂,= bа₃ + r₃, 0 < r₃< b,(4)

…………………………..

10r_k-1,= bа_k + r_k, 0 < r_k< b,

…………………………..

Из равенства 10r_k-1,= bа_k + r_k следует, что bа_k <10r_k-1, а так как r_k-1 <b, то bа_k <10r_k-1 <10b . Следовательно, bа_k <10b, т.е. а_k <10. Таким образом, в записи дроби (3) каждое из чисел а₁,а₂ а₃ , … является цифрой в десятичной системе счисления. Запишем равенства (4) в виде сравнений:

10а = r₁ (mod b),

10r₁,= r₂(mod b),

……………

10r_k-1,= r_k(mod b). (5)

Рассмотрим два случая, которые могут представиться при обращении обыкновенной дроби в бесконечную дробь.

1случай. Знаменатель несократимой дроби a/b не имеет простых делителей 2 и 5, т.е. (a, b) ≡1 и (b, 10) = 1.

Пусть при обращении данной дроби в десятичную получилась бесконечная десятичная дробь (3) и пусть k - показатель числа 10 по модулю

т.е

Легко показать, что этот период является наименьшим. В самом деле, если бы повторение элементов дроби (3) начиналось с а_k1 , где k₁< k, т.е. r_k1 = a, то сравнение (7) имело бы вид 10^k1 а ≡ a (mod b), т.е. 10^k1 ≡1 (mod b). Последнее сравнение противоречит определению показателя числа 10 по модулю b и доказывает наше утверждение.

Таким образом, можно считать доказанной теорему: несократимая обыкновенная дробь a/b , знаменатель которой взаимно прост с 10, обращается в бесконечную чисто периодическую дробь с длиной периода k, где k есть показатель, которому принадлежит число 10 по модулю b.

Заметим, что сравнение 10^k ≡1 (mod b) имеет место тогда и только тогда, когда 10^k -1⁞ b, но 10^k -1есть целое число, записываемое k девятками. Следовательно, k есть число девяток в наименьшем из чисел, записываемых девятками, делящемся на b.

2 случай. Знаменатель несократимой дроби a/b содержит в своем каноническом разложении хотя бы одну двойку или пятерку, т.е. b = 2^Р * 5^q * b₁, где хотя бы одно из чисел p, q отлично от нуля и (b_1,10) = 1. Будем считать для определенности, что p>=q.

В этом случае a/b=a/(2^Р*5^q*b₁)=(a5^p-q )/(10^Р*b₁)= а₁ /(10^Р*b₁)= (1/10^Р)*(а₁ /b₁). Так как (а₁ ,b₁) = 1 и (b₁,10) = 1, то по первому случаю дробь а₁ /b₁ обращается в чистую периодическую десятичную дробь. Пусть а₁ /b₁ = β, β₁β₂ … β_s и l_m … l_p+1 l_p … l₁ есть запись числа β в десятичной системе счисления.

Тогда a/b=1/10^Р l_m l_m-1 … l₁ , (β₁β₂ … β_s)=γ, l_p l_p-1 … l₁(β₁β₂ … β_s).

(Здесь при i > т, l_i =0.)

Таким образом, если каноническое разложение знаменателя b несократимой дроби a/b имеет вид 2^Р5^qb₁ , где (b₁,10)=1, то дробь a/b обращается в бесконечную смешанную периодическую десятичную дробь, у которой число цифр до периода равно наибольшему из чисел р и q, а длина периода равна показателю числа 10 по модулю b₁ (числу девяток в наименьшем из чисел, записываемых девятками, делящемся на b₁).

Пример Найти число цифр до периода и длину периода у десятичной дроби, полученной при обращении дроби 39/280 в десятичную.

Найдем каноническое разложение числа 280:280 = 2³*5*7. Следовательно, до периода будет три цифры. Чтобы найти длину периода, надо найти наименьшее число, образованное девятками, делящееся на 7. Непосредственной проверкой убеждаемся, что числа 9,99,999,9999,99999 не делятся на 7, а число 999999 делится на 7. Следовательно, длина периода равна 6.

Заметим, что легче находить длину периода как показатель числа 10 по модулю 7, т.е. наименьшее натуральное число k, такое, что10^k ≡1 (mod 7).

При этом полезно воспользоваться следующим свойством показателей: показатель, которому принадлежит число а по модулю т, является делителем числа φ(m).

В нашем примере φ(7) = 6. Следовательно, достаточно проверить, показатели: 1,2,3,6: 10¹ ≡ 3, 10² ≡ З² ≡2, 10³ ≡3*2 ≡ -l, 10⁶≡1. Все сравнения по модулю 7. Следовательно, длина периода равна 6. Обращая данную дробь в десятичную, получим: 39/280 = 0,139(285714).

Рассмотрим обратную задачу.

Пусть с=0,( а₁ … а_n); 10ⁿ c= а₁ … а_n ,(а₁ … а_n)= а₁ … а_n+c; c=(а₁ … а_n)/(10ⁿ-1)=(а₁ … а_n)/99…9

Чтобы превратить правильную чисто периодическую десятичную дробь в обыкновенную, надо в числителе записать период, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде.

Пусть теперь с=0,( b₁ … b_m ( а₁ … а_n); 10^m+n c= b₁ … b_m а₁ … а_n, (а₁ … а_n);

10^m c= b₁ … b_m,(а₁ … а_n); 10^m+n c - 10^m c= b₁ … b_m а₁ … а_n - b₁ … b_m;

c= (b₁ … b_m а₁ … а_n - b₁ … b_m )/((10ⁿ-1) 10^m ).

Чтобы превратить правильную смешанную периодическую десятичную дровь в обыкновенную, надо из числа, стоящего между запятой и вторым периодом, вычесть число, стоящее между запятой и первым периодом, и эту разность сделать числителем. А в знаменателе взять столько девяток, сколько цифр в периоде, и сколько нулей, сколько цифр в предпериоде.