§3. Системы сравнений
Рассмотрим
систему сравнений
Где f1(x), f2(x), …. , fs(x)€Z[x].
Теорема 1. Пусть M = [m1, m2 ,...,ms] - наименьшее общее кратное чисел m1,m2,…,ms . Если а удовлетворяет системе (2), то и любое число из класса а по модулю М удовлетворяет этой системе.
Доказательство. Пусть b€ классу а. Так как а ≡ b(mod M), то а ≡b(mod m), i= 1,2,...,s (свойство сравнений 16). Следовательно, b, как и а, удовлетворяет каждому сравнению системы, что и доказывает теорему. Поэтому естественно считать решением системы (2) класс по модулю М.
Определение. Решением системы сравнений (2) называется класс чисел по модулю М = [m1,m2,...,ms], удовлетворяющих каждому сравнению системы.
Пример:
[6,4] = 12. Сразу заметим, что нечётные числа не удовлетворяют второму сравнению. Взяв чётные числа из полной системы вычетов по модулю 12, непосредственной проверкой убеждаемся, что 2-му сравнению удовлетворяют числа 2, -2, 6, а система имеет два решения: х ≡ 2(mod l2), х ≡ -2(mod 12).
Рассмотрим
систему сравнений 1-ой степени
(3)
Теорема2. Пусть d=(m1,m2), М = [m1,m2].
Если с1 — с2 не делится на d, то система (3) не имеет решений.
Если (c1 —c2):d, то система (3) имеет одно решение - класс по модулю М.
Доказательство. Из 1-го сравнения x = c1+m1t, t€Z. Подставляем во 2-е сравнение: с1+ m1t ≡ c2(mod m2) или
m1t ≡ c2-cl (mod m2). Это сравнение имеет решение только если (с2 – с1): d.
И
решение представляет собой класс по
модулю
(теорема
4 из §2).
Пусть
решение
,
то есть
, где k€Z.
Тогда
M=[m1,m2]=
,
то есть x≡c1+m1t0(mod
M)
- решение
Примеры.
:2,
система имеет одно решение класс по
модулю 24. Из 1-го сравнения х =2+6t.
Подставив вместо х во 2-е сравнение,
имеем: 2 + 6t≡
4(tnod 8); 6t≡
2(mod 8); -2t≡2(mod8);
t≡-1(mod
4); t=-1+4k;
x=2+6(-1+4k);
x=-4+24k,
то есть x≡-4(mod
24).
7-3
не делится на 3, система не имеет решений.
Следствие
1. Система
сравнений
(4)
Либо не имеет решений, либо имеет одно решение – класс по модулю M=[m1,…,ms].
Доказательство. Если система первых двух сравнений не имеет решений, то и (4) ие имеет решений. Если она имеет решение х ≡ a(mod[m1,m2]), то, добавив к этому сравнению третье сравнение системы, получим снова систему вида (3), которая либо имеет одно решение, либо не имеет решений. Если имеет решение, то будем так продолжить, пока не исчерпаем все сравнения системы (4). Если решение есть, то это класс по модулю М.
Замечание. Здесь использовано свойство НОК: [[m1,m2,…,ms-1]ms]=[m1,…,ms].
Следствие 2. Если m1,m2,…,ms попарно взаимно простые, то система (4) имеет одно решение - класс по модулю M=m1m2…ms.
Пример:
Так как модули попарно взаимно простые, система имеет одно решение - класс по модулю 105 = 5*3*7. Из первого сравнения
X=2+5t, t€Z.
Подставляем во второе сравнение: 2 +5t≡ 0(mod 3) или 2t≡-2(mod3), t=-1+3k, x=2+5(-1+3k), x=-3+15k. Подставим в третье сравнение:
-3+15k≡5(mod7), 15k≡8(mod 7), k=1+7l. тогда x=-3+15(1+7l); x=12+105l; x≡12(mod 105).
Познакомимся
с другим
способом решения этой системы, (Используем
то, что система имеет одно решение.)
Умножим обе части и модуль первого
сравнения на 21, второго-на 35б третьего
– на 15:
из суммы первого и третьего вычтем
второе:
(36 —35)х ≡ 75 + 42(modl05); x≡117(mod105); x≡12(mod105).
Рассмотрим теперь систему сравнений первой степени общего вида
(5)
Если некоторое сравнение этой системы не имеет решений, то и система не имеет решений. Если же каждое сравнение системы (5) разрешимо, то решим его относительно х и получим равносильную систему вида (4):
,
где
(теорема 4, §2).
По следствию 1 система либо не имеет решений, либо имеет одно решение.
Пример:
Решив каждое сравнение системы, получим равносильную систему
Эта система имеет одно решение - класс по модулю 105. Умножив первое сравнение и модуль на 3, а второе на 35, получим
Вычитая из второго сравнения первое, умноженное на 11, получаем 2х ≡-62(modl05), откуда х ≡ -31(modl05).
Задачи, сводящиеся к рассмотрению системы сравнений 1-ой степени, рассматривались в арифметике китайского математика Сун Тзу, жившего примерно в начале нашей эры. У него вопрос ставился в следующей форме- найти число, дающее заданные остатки при делении на заданные числа. Он даёт и способ решения, эквивалентный следующей теореме.
Аналогичным образом проверяем, что x0≡c2(mod m2),…, x0≡cs(mod ms), то есть x0 удовлетворяет всем
сравнениям системы.