Отношение делимости. Свойства. Теорема о делении с остатком.
Глава 1. Делимость в кольце целых чисел §1. Отношение делимости
Определение. Пусть a, b € Z, b ≠ 0. Говорят, что а делится на b, если существует с € Z, что а = bс. Обозначают: a⁞b.
Говорят также: b - делитель а, b делит а (обозначают: b|а),а кратно b.
Число 0 не рассматривается в качестве делителя.
Действительно, если а ≠ 0, то а = 0 • q невозможно при любом q. Если же а = 0,то 0 = 0*q верно при любом целом q. Однако в этом случае частное q, в отличие от остальных случаев, определяется не однозначно. Если считать, что 0 делится на 0, то это создаёт определённые неудобства. Поэтому на 0 делить нельзя.
Рассмотрим
интересный пример. Разложим в произведение
выражение
двумя способами: 1) вынесем общий
множитель за скобки а(а-
а);
2) используем формулу разности квадратов
(а-a)(a
+ a).
Имеем:
а(а-а) =(a-a)(a+а).
После сокращения получим: а=2а.
Еще раз, сократив на а,
получим, что 1 = 2 . Казус получился из-за
того, что делили 0 на 0 .
Свойства делимости.
1) a⁞a, если а≠0 (рефлексивность). Действительно, а=а*1.
2)Если a⁞b и b⁞c, то a⁞c (транзитивность).
Доказательство.
а
= bq,
b
= c
где
q,
-целые числа. Откуда а
= c(q,
)
3)Если а ≠ 0,то 0⁞a .
4)Если
а
≠ 0 и
a⁞b,
то
.
Доказательство,
а
= bq,
q€Z.
Так как q
≠0,
то
N,
следовательно,
.
Умножим обе части неравенства на
положительное число
,
получим:
то
есть
.
5)Если 1⁞b , то b =± 1 (следует из свойства 4).
6)Если a⁞b и b⁞a , то а=±b.
Доказательство.
a=bq,
b= a
где
q,
-целые числа. а=a(q,
откуда
q,
,
q
= ±1 и а = ±b.
7) a⁞1 для любого целого а.
8)Если a⁞c и b⁞c, то (a±b)⁞c.
Доказательство,
a=cq,
b=
c
,
где q,
-целые
числа. а±b
= c(q±
.
9)Если а⁞с и b€Z, то ab⁞c.
10)Если
⁞с
и
Z,
то
(следует из свойств 9,8).
11)Если (a+b)⁞c и b⁞с, то а⁞с.
12)Если (a+b)⁞c и b не ⁞с, то а не⁞с.
13)Если а⁞с и b⁞d, то (ab)⁞cd.
14)Если а⁞с и b€N, то ab⁞cb.
15). Если аb⁞сb, то а⁞с.
16). Если а:b, то ±а⁞(±b).
§2. Теорема о делении с остатком
Теорема.
Для
любого целого числа а и любого целого
b ≠ 0 существуют и единственные целые
числа
q
и r,
такие, что а
= bq + r,
где 0
Число
q
называют
неполным частным, а r
- остатком.
Доказательство. 1. b>0. Рассмотрим числовую прямую и разобьём её на отрезки длины b точками 0, ± b, ±2b, ± Зb,...
-2b -b 0 b 2b
Очевидно,
что где бы ни было расположено число
а,
оно обязательно попадёт в один из
полуинтервалов [bq,
b(q + 1)),
где q
-
целое, так как числовая прямая -
объединение всех таких полуинтервалов.
То есть найдётся целое q,
что bq
a<b(q
+ 1).
К каждой части неравенства прибавим
-bq,
получим
0
a-bq
<b.
Обозначим a-bq-r.
Тогда a
= bq + r, 0
r
<b =
.
2.
b
< 0.
Тогда -b
>
0 и по доказанному для а
и -
b
существуют целые q и r,
что a=(-b)q
+ r,
0
r
<
Откуда
получаем: а
= b(-q)+r,
где 0
r
<
.
Существование q
и r
доказано.
Докажем
единственность. Пусть a
= bq + r,
где 0
r
<
,
и а=b
+
,
где 0
<
Имеем:
bq + r=
b
+
,
b(q
-
)
=
-r.
Если q=
то r=
. Если же q≠
, то (
-r)⁞b
и, следовательно,
(свойство
делимости 5).
Однако
противоречие.
Следовательно, q=