Вопрос 13. Кривые второго порядка.Каноническое уравнение эллипса.

Кривой 2-го порядка наз-ся множество точек в декартовой плоскости, которая удовлетворяет уравнению следущего вида:

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1. - уравнение эллипса.

2. - уравнение “мнимого” эллипса.

3. - уравнение гиперболы.

4. y² = 2px – уравнение параболы.

5. y² – a² = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

6. y² + a² = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

7. y² = 0 – пара совпадающих прямых.

8. (x – a)² + (y – b)² = R² – уравнение окружности.

Эллипс.

Определение. Эллипсом в каноническом виде наз-ся множество всех точек плоскости координаты которых удовлетворяют уравнению .

Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

M

М

r₁

r₂

F₁ O F₂

у

r1

М

r₁

r₂

F₁ O F₂

r2

М

r₁

r₂

F₁ O F₂

O

М

r₁

r₂

F₁ O F₂

x

М

r₁

r₂

F₁ O F₂

F2

М

r₁

r₂

F₁ O F₂

F1

М

r₁

r₂

F₁ O F₂

F₁, F₂ – фокусы. F₁ = (c; 0); F₂(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a² = b² + c².

откуда c=

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

Е = с/a.

Т.к. с < a, то е < 1.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r₁ = a – ex, r₂ = a + ex.

Доказательство. Выше было показано, что r₁ + r₂ = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r₂ = a + ex. Теорема доказана.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x = a/e; x = -a/e.

Отношение расстояния r_i от точки эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:

Составим уравнения директрис:

(D₁), (D₂). Тогда Отсюда r_i / d_i = e, что и требовалось доказать.

Теорема 2:

т. М принадлежит эллипсу не являющемуся окружностью, тогда и только тогда, когда отношение расстояния от М до фокуса к расстоянию от М до соответствующей этому фокусу директриссы равно эксцентриситету.

Доказательство:

Обозначим через l (L-малая) директриссу , расстояние от точки М (х,у) до данной директриссы равно , преобразуем , используя лемму получаем, что если точка М принадлежит эллипсу, то

Достаточность пусть М(х,у) произвольная точка в плоскости, для которой выполняется:

по формулам длины отрезка: ,

возведем данное уравнение в квадрат:

зная что ea=c, последнее равенство будет выглнядеть:

, так как , а в итоге получим:

таким образом точка М принадлежит эллипсу.