Вопрос 26.Докозательсво , что множество действительных числе не .

Начнем двигаться из левого верхнего угла таблицы и нумеровать дроби по порядку, исключая те, которые встречались ранее.

Докажем, что множество натуральных чисел равномощны множеству рациональных. Запишем таблицу. Разместим в таблицу рациональные числа с числителем с номером строки и знаменателем с номером столбца.

0	1	2	3	4	5
1	1
2	2	1			В этой таблице нашим способом можно дойти до любого рационального числа. При этом каждому рациональному числу соответствует его натуральный номер. Таким образом между положительными рациональными числами и натуральными числами установлено взаимно однозначное соответствие. Они равномощны.
3	3		1
4	4	2		1
5	5				1
…	…	…	…	…	…

С рациональными отрицательными числами установлено взаимно-однозначное соответствие таким же образом, как между натуральными и целыми.

Множество действительных чисел несчетные.

1

0

Рассмотрим отрезок из действительных чисел

В этом множестве любое число записывается десятичной дробью, в которой после нуля следует любая бесконечная последовательность цифр от 0 до 9, за исключение последовательностей, начиная с нечетного элемента (0,99999…9=1)

Рассмотрим последовательность, в котором на i-ом месте стоит цифра, отличная от i-ой цифры i-ого числа и 9.

Предположим, что все действительные числа удалось занумеровать, выпишем их в столбец.

1	0,000…0…
2	0,010…0…
3	0,1111…0…
4	0,12345…
5	0,121241….
…	…

0,12267 – данная последовательность не совпадает ни с одной из последовательностей, вписанных в столбец, поскольку в i-ой последовательности она отличается в i-ом знаке и поэтому не будет пронумерована. И значит, множество действительных чисел неравномощно счетному множеству.

Вопрос 27. Функция, последовательность, их пределы (примеры бесконечно малых и больших последовательностей).

E(t) – область значений

Функция – это правило, сопоставляющее элементам множества Х ровно 1-о значение из множества У. При этом необязательно каждому значению Х какое-то значение У. А элементам для которых определено это правило образуют область определения функции. Множество образов этих элементов образуют область значений функции.

D(t) – область

определения

Функция переводящая в натуральный ряд в множество У называется последовательностью.

4

3

2

1

Последовательность принято обозначать символом , при этом

ее можно задавать двумя способами: словесно и с помощью

графика.

Предел функции:

Пример: – гипербол

Функция sinx не имеет предела

0

Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда:

для

Предел последовательности: пределом последовательности называется число А и символ , тогда и только тогда, когда:

1. предел тогда и только тогда, когда для , , что из ;

2. предел ,

Последовательность   называется бесконечно малой, если  . Например, последовательность чисел   — бесконечно малая

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если 

Последовательность   называется бесконечно большой, если 

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если