Вопрос 21. Матрица перехода от Базиса к Базису.

L - n- мерное линейное пространство с базисом , ,…, . Другой базис задан векторами _{, ..} . Тогда они также являются векторами этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов , ,…, :

= a₁₁ + a₂₁ +…+ a_n1

= a₁₂ + a₂₂ +…+ a_n2

……………………………….

= a_n1 + a_n2 +…+ a_nn

Тогда матрица = называется матрицей перехода от базиса к базису.

Вопрос 22. Линейный оператор и его матрица.

Линейным оператором в линейном пространстве L называется всякое отображение A : L => L пространства L в себя , обладающее свойствами:

A(tx)=tAx , A(x+y)=Ax+Ay

Пусть A – линейный оператор в конечномерном пространстве L_n и B = (l₁,….,l_n) – некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Ae_k, k=1, … , n, по базису B :

Ae_k = a_1ke₁+…..+a_nke_n, k=1,….,n.

Тогда матрица

A=

Называется матрицей оператора A в базисе B. Матрицу оператора будем иногда обозначать также символом [A].

Пусть A и A’ – матрицы оператора A в базисах B и B’ , а T = T_B->B’ – матриа перехода от базиса B к базису B’. Тогда формула преобразования матрицы оператора пи преобразовании базиса имеет вид

A’=T^-1AT.

Практическая часть:

Правило для решения : Работа с операторами не проводится, проводится только с их матрицами.

Вопрос 23. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство:

A .

При этом число  называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни ₁, ₂, … ,_n уравнения:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

!!!ДОКАЗАТЬ Ax=Lx!!!

Вопрос 24.Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду(Алгоритм, с примером).

!!!!СДЕЛАТЬ!!!

Вопрос 25.Множество операций над множеством.

Множество – аксиоматическое понятие, неопределяемое.

Множество M состоящее из нескольких количественных элементов принято записывать : M ={ x₁,x₂…,x_n}

Пустое множество ( ) – множество в котором ничего нет.

Множество u (универсом) – это множество всех элементов.

Операции над множествами.

1)Объединения. Двух Множеств M₁ и M₂ наз-ся множество M , которое содержит все элементы множест M₁ и M₂ и только. Обозначается U . Пример : M₁ U M₂ = M .

На диограмме Вейлера – Етта объединение будет выглядеть так :

2)Пересечение двух множест M₁ и M_{2 ,} называется множество M в котором содержится все элементы принадлежащие одновременно и M₁ и M_2.

Обозначается как объединение

Выглядит вот так : M₁ U (НИЗ ГОЛОВОЙ) M₂ = M

3. Дополнением, множества M (M с чертой сверху) – называется множество состоящее из всех элементов не лежащих в M. Иногда называют так же отрицанием.

Дополнение.

Свойство.

1. M(С ЧЕРТОЙ) U M = u (универсум)

2. M(С ЧЕРТОЙ) U (НИЗ ГОЛОВОЙ) =

В

А

Подмножеством B множества A ( B включает A) – называется множество состоящее только из элементов A .

Несобственным подмножеством множества А называется пустое множество и само множество А. Все остальные подмножества называются собственными. Прямое произведение А и В (АхВ) - множество С состоящее из всевозможных упорядоченных пар, на первом месте в которых располагаются элементы множества А, а на втором элементы множества В

Пример :

A = {1,2,3} , B= {1,5,6}, АхВ = { (1,1) , (1,5) , (1,6) ; (2,1) , (2,5) , (2,6) ; (3,1) , (3,5) (3,6) }

Если множества конечны и их мощности равны N и M , то их прямое произведение имеет N х M.

Пишут что элемент X лежит в множестве A и обозначает это x принадлежит A , если содержится среди элементов A .

Пример : A {1,2,3} , тогда 5 не принадлежит A , а 1 принадлежит A.

Квантер принадлежности € можно ставить только после множества элемента A.

Разность двух множеств A и B ( A \ B) это множества элементов лежащих в A , но не лежащих в B .

ВВ

А

Симметрическую разностью A B называется объединение разность А без В , В без А

Равенство множеств.

Два множества равны, если все их элементы равны между собой. И множества равномощны если они содержат одинаковое кол-во элементов, или можно установить взаимное однозначное соотвествие между элементами этих множеств.

Пример : M₁ = { 1,2,3,4} , M₂ = { Вася, Петя , Ваня , Аня }