3. Волновое уравнение для бегущих и стоячих волн. Интенсивность и энергия звуковых волн.

Пусть сферическая волна возбуждается синусоидальными колебаниями в начале прямоугольной системы координат x, y, z. Эти возмущения повторяются с запаздыванием на время t = r/c, а также с некоторым уменьшением амплитуды на любом расстоянии от начала координат. Если можно пренебречь затуханием волны в среде (внутреннее трение и т.п.), то амплитуда волны будет убывать пропорционально расстоянию r. С учетом запаздывания во времени и убывания амплитуды математическое выражение волны будет иметь следующий вид

(1.17)

При увеличении расстояния кривизна сферической поверхности стремится к нулю и волна на определенных, на слишком больших, участках пространства может быть принята за плоскую волну, математическое выражение которой

(1.18)

Обе волны являются лишь частными видами решения дифференциального уравнения 2-го порядка с частными производными

(1.19)

Это уравнение называется волновым уравнением. В сокращенной записи

(1.20)

где  - оператор Лапласа.

При помощи более частных видов волнового уравнения описывается распространение волн в одном и двух измерениях. Так распространение волн по струне (одно измерение) описывается волновым уравнением

(1.21)

а распространение волн по натянутым пленкам - мембранам (два измерения)

(1.22)

Уравнение для стоячих волн или собственных колебаний получится, если положить , где А - функция x, y, z . Подставляя это выражение в (1.19), получим волновое уравнение, не содержащее производной по времени (уравнение Гельмгольца):

(1.23)

где - волновое число, т.е. число волн на участке 2 см.

Энергия звуковой волны - это добавочная энергия среды, обусловленная наличием звуковых волн. Энергия звуковой волны единицы объема называется плотностью звуковой энергии Е и равна

(1.7)

где первый член - плотность кинетической энергии Е_кин., а второй - плотность потенциальной энергии Е_пот.;

с - скорость распространения волны.

Для плоской бегущей волны Е_кин.= Е_пот., и плотность полной энергии

(1.8)

Плотность энергии в системе СИ измеряется в Дж/м³.

Для гармонической плоской бегущей звуковой волны среднее по времени значение плотности энергии равно

(1.9)

где v₀, p₀ - амплитуды колебательной скорости и давления.

Средняя по времени плотность полной звуковой энергии в стоячей волне равна

Средняя по времени энергия, переносимая звуковой волной через единичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения волны, в единицу времени называется интенсивностью звука.

Для плоской синусоидальной бегущей волны интенсивность равна

(1.10)

В стоячей волне I=0, т.е. потока энергии в среднем нет.

Произведение c, входящее в формулу (1.10), получило название акустического сопротивления среды.

В системе СИ интенсивность измеряется в Вт/м².