Задача 18

Составить экономико-математическую модель оптимизации посевов четырех культур на зеленый корм: однолетних трав, много­летних трав, озимой ржи и пожнивных посевов. Под посевы отведено 1800 га. По плану требуется произвести 8600 ц кормовых единиц, в т. ч. в мае - не менее 7%, в июне - 20, августе - 20 и сентябре - 14% от общей потребности в зеленых кормах. Ниже приведены данные о поступлении зеленой массы с 1 га:

Культура	Зеленой массы ц к. е. с 1 га
	Всего	май	июнь	июль	август	сентябрь
Однолетние травы	21,0	—	—	21,0	—	—
Многолетние травы	30,45,	—	11,14	6,09	7,12	6,10
Озимая рожь	14,34	14,34	—	—	—	—
Пожнивные посевы	16,21	—	—	—	16,21	—

Критерий оптимальности - максимум производства кормов.

Задача 19

Составить экономико-математическую модель оптимизации структуры посевов трех продовольственных культур: озимой ржи, озимой пшеницы и картофеля. Под посевы отведено 1000 га пашни, которая должна использоваться полностью. При этом общие ресурсы труда составляют 30000 чел.-ч.

Производство культур характеризуется следующими показате­лями:

Показатели	Озимая рожь	Озимая пшеница	Картофель
Урожайность с 1 га, ц	32	40	2£0
Затраты труда на 1 га, чел.-ч.	16	20	80
Производственные затраты на 1 га, руб.	2140	2260	7820

По плану требуется произвести 32000 ц зерна и 40000 ц картофеля.

Критерий оптимальности – минимум производственных затрат.

Задача 20

Составить экономико-математическую модель оптимизации распределения минеральных удобрений под посевы корневых корне­плодов и кукурузы на силос.

Площадь посева культур, рекомендуе­мые дозы внесения удобрений приведены ниже:

Показатели	Кормовые корнеплоды	Кукуруза на силос
Площадь посева, га	150	260
Урожайность с 1 га без внесения удобрений	285	177
Дозы внесения минеральных удобрений на 1 га, ц д.в.:
- азотных	0,9	0,7
-калийных	0,9	0,9
- фосфорных	0,8	0,9
Прибавка с 1 ц. за счет внесения удоб­рений с 1 га, ц.	85	64
Содержание кормовых единиц в 1 ц, ц к.е.	0,12	0,2

ЗАДАНИЕ № 3

Составить экономико-математическую модель производства и использования кормов в хозяйстве, приводящего к максимальному выходу товарной продукции в денежном выражении.

Хозяйство располагает посевной площадью 5400 га, естественными сенокосами – 90 и пастбищами – 200 га.

Для выполнения договорных обязательств предприятие должно произвести как минимум (ц):

Зерна 42000

Сахарной свеклы 160000

Картофеля 15000

Подсолнечника 2800

Молока 33000

Мяса 1200

В хозяйстве могут возделываться озимые зерновые культуры, яровые, кукуруза, подсолнечник, картофель, сахарная и кормовая свекла, кукуруза на силос и зеленый корм, а также однолетние и многолетние травы (на сено, зеленый корм, сенаж, муку), таблица 3.

На корм животным могут быть использованы также комбикорм, жом, нормы поступления которых показаны в таблице 4.

Таблица 3

Урожайность сельскохозяйственных культур

Культуры	Две последние цифры номера зачетной книжки
	00-05	06-11	12-17	18-23	24-29	30-35	36-41	42-47
Озимые зерновые	37,0	37,5	35,4	35,2	36,0	36,7	35,6	35,0
Яровые зерновые	21,5	23,0	23,2	21,8	22,0	21,0	21,0	21,5
Кукуруза	40,0	40,6	39,2	40,4	40,0	42,0	39,4	38,0
Подсолнечник	17,0	15,2	16,0	15,8	17,2	16,4	18,0	16,0
Картофель	160	130	140	115	110	109	112	120
Сахарная свекла	280	300	320	310	290	315	345	295
Кормовая свекла	420	400	440	415	395	409	425	380
Кукуруза: - на зеленый корм - на силос	190 230	170 200	172 180	168 203	160 190	175 210	174 189	170 238
Однолетние травы: - на сено - на зеленый корм - на сенаж	38,0 110 52,0	38,7 105 50,4	39,5 118 54,4	42,0 124 62,0	40,0 120 60,0	46,0 118 52,0	43,0 108 50,0	37,8 112 48,0
Многолетние травы: - на сено - на зеленый корм - на сенаж - на муку	41,0 154 70,0 24,0	40,0 146 73,0 21,0	44,0 150 70,0 22,0	42,0 140 71,0 20,0	43,0 155 72,0 19,0	42,0 142 71,5 23,0	40,0 150 75,0 24,5	39,8 140 69,0 24,0
Естественные: - сенокосы - пастбища	28,0 47,0	27,0 42,0	32,0 45,0	25,0 46,0	26,0 49,0	30,0 50,0	28,6 47,0	21,0 39,0
Солома озимых	25	26	24	25	25	24	24	23
Солома яровых	13	14	14	13	14	13	13	14
Стебли кукурузы	38	39	37	38	38	39	37	36
Ботва сах. свеклы	40	42	44	43	41	42	46	41

Культуры	Две последние цифры номера зачетной книжки
	48-53	54-59	60-65	66-73	74-81	82-87	88-93	94-99
1	2	3	4	5	6	7	8	9
Озимые зерновые	34,0	36,0	37,8	40,1	35,4	38,0	39,7	36,5
Яровые зерновые	24,4	23,7	26,5	27,3	24,8	25,3	26,2	24,4
Кукуруза	42,0	39,5	40,1	37,0	38,8	37,6	44,0	29,8
Подсолнечник	14,0	17,3	18,1	15,3	16,8	17,1	14,8	15,1
Картофель	134	130	118	110	147	129	150	143
Сахарная свекла	300	290	305	280	268	270	320	298
Кормовая свекла	365	370	440	500	340	460	370	405
Кукуруза: - на зеленый корм - на силос	190 260	167 240	165 230	260 300	240 310	210 260	180 230	160 190

Продолжение таблицы 3

1	2	3	4	5	6	7	8	9
Однолетние травы: - на сено - на зеленый корм - на сенаж	39,2 110 51,0	34,3 122 60,0	45,1 113 47,0	37,8 115 49,0	38,5 119 56,0	50,0 114 54,0	46,4 120 61,0	42,0 117 50,0
Многолетние травы: - на сено - на зеленый корм - на сенаж - на муку	41,5 142 71,0 22,5	40,0 138 67,0 23,0	43,0 150 70,0 24,5	44,0 155 76,0 20,0	42,5 143 70,0 19,0	43,0 152 73,0 24,0	42,0 140 69,0 23,0	41,0 140 68,0 21,0
Естественные: - сенокосы - пастбища	25,0 40,0	27,0 41,0	28,0 45,0	26,0 42,0	24,0 43,0	32,0 46,0	30,0 48,0	22,0 40,0
Солома озимых	25	24	26	28	24	26	27	25
Солома яровых	16	15	17	18	16	17	18	16
Стебли кукурузы	39	37	38	36	36	35	40	28
Ботва сах. свеклы	42	40	42	40	38	39	44	42

В целях индивидуализации задания, к дробной части величины, обозначающей урожайность, прибавить две последние цифры номера зачетной книжки и, получив новую величину, округлить с точностью до десятых долей.

Таблица 4

Нормы встречной продажи кормов промышленного производства (ц)

в расчете на 1 ц продукции, проданной государству

Виды продукции	В пределах плана		Сверх плана
	комбикорм	жом	комбикорм	жом
Подсолнечник	0,3		0,7
Сахарная свекла	0,01	0,5	0,01	0,75

Структура кормления животных приведена в таблице 5.

Таблица 5

Структура кормления животных

Виды животных	Потребность в кормах, ц		В том числе, ц корм. ед.
			грубых		сочных	зеленых		концентрированных
	Корм.ед.	Переваримый протеин	всего	в т.ч. сено	всего	в т. ч. силос	всего	всего
Коровы	40	4,1	6-9	2,5	12-14	10-12	10-12	8-10
Свиньи	17,5	1,8	-	-	1-2	0,2	1-2	14-16

Выход мяса на среднегодовую корову составляет 1,1 ц, молока – 32 ц, на одну свинью мяса – 0,9 ц. Реализационная цена на мясо КРС – 4000, молока- 500, мяса свиней –4500 руб. за 1 ц; на зерно озимых 350, яровых- 300, кукурузу- 320, картофель- 500, подсолнечник- 480, сахарную свеклу- 105 рублей за 1 ц.

Хозяйство пользуется семенами своего производства, за исключением семян кукурузы, сахарной и кормовой свеклы. Норма высева семян озимых- 2 ц/га, яровых-1,8, подсолнечника – 0,15, картофеля- 2,8, однолетних трав- 0,3, многолетних- 0,2 ц/га, при урожайности последних соответственно 3,5 и 2,8 ц с га.

Расход соломы озимых зерновых на подстилку в расчете на 1 корову- 7 ц, на свинью - 2,5 ц.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 1

В хозяйстве с четырех полей необходимо доставить солому к местам ее использования. Запасы соломы на полях: 1-1050, II-1300, III-1400, IV-1250 т.

Потребность в соломе в местах использования: 1-1110, II-900, III-800, IV-1200, V-1000 т.

Стоимость доставки 1 т соломы (руб.) с полей к местам использования указана в таблице 6.

Таблица 7

Поля	Места использования
	I	II	III	IV	V
I	17	20	20	40	15
II	35	10	12	38	28
III	18	26	13	16	42
IV	18	19	34	15	19

Требуется составить план перевозок, минимизирующий затраты на транспортировку соломы.

Искомые неизвестные задачи – объем перевозки (xij ) с i-го поля к j-му месту использования.

Условия задачи запишем в табличной форме (табл. 8).

Таблица 8

Поля	Места использования соломы					Наличие соломы на полях
	I	II	III	IV	V
I	17 X11	20 X12	20 X13	40 X14	15 X15	1050
II	35 X21	10 X22	12 X23	38 X24	25 X25	1300
III	18 X31	26 X32	13 X33	16 X33	42 X35	1400
IV	18 X41	19 X42	34 X43	15 X44	19 X45	1250
Потребность в грузе	1100	900	800	1200	1000	5000

Каждая клетка этой таблицы представляет определенный маршрут перевозки от i-го пункта отправления к j-му пункту назначения. Например, маршрут 2-3 соответствует перевозке груза со второго поля к третьему месту использования груза.

В верхнем правом углу каждой клетки указывается стоимость перевозки 1 т груза по данному маршруту. Эту величину называют тарифом или коэффициентом транспортных затрат и обозначают Сij. Тарифом может быть не только стоимость, но и расстояние, время перевозки и т.п.

Переменные Xij показывают, сколько единиц груза необходимо перевезти по каждому маршруту.

Составление плана, согласно критерию оптимальности, выгоднее начинать с «дешевых» маршрутов. Например, с первого поля, имеющего запасы соломы, равные 1050 т, выгоднее завести пятому потребителю 1000 т и 50 т - первому, соломой со второго поля обеспечиваем второго и третьего потребителя - соответственно по 900 и 400 т (в таблице 8 это вторая строка).

Таблица 8

		1100	900	800	1200	1000
	Vj Ui	17	9	11	14	15
1050	0	17 50	20	20	40	15 1000
1300	1	35	10 900	12 400	38	25
1400	2	18 + ( 1 )	26	13 400	16 - 1000	42
1250	1	- 18 1 050	19	34	15 200 +	19

Таблица 9

	Vj Ui	17	10	12	14	15
1050	0	17 50	20	20	40	15 1000
1300	0	35	10 900	12 400	38	25
1400	1	18 1000	26	13 400	16	42
1250	1	18 50	19	34	15 1200	19

С третьего поля можно завести третьему потребителю недостающие 400 т и четвертому - оставшиеся 1000 т соломы.

Четвертое поле должно обеспечить потребность в соломе первого потребителя в количестве 1050 т (1110 - 50 =1050) и четвертого – 200 т (1200 - 1000 = 200).

Получен первый план доставки соломы с полей к местам ее использования.

Теперь следует определить, является ли полученный вариант оптимальным, и если нет, то улучшить его. Для этой цели используются так называемые потенциалы.

Под потенциалами (оценками) понимается произвольная система чисел, рассчитанных по следующему правилу: для всех заполненных клеток сумма потенциалов (оценок) соответствующей строки и столбца должна равняться величине тарифа (расстояние, издержки, урожайность и т.п.) этой клетки, т.е.

Ui+Vj=Cij, (I)

где Ui - оценка i-ой строки ( i= 1,2,3,…………,m);

Vj - оценка j-го столбца (j= 1,2,3,……………….., n );

Cij - оценка (тариф) клетки.

Расчет начинают с того, что любой строке или столбцу задается произвольная оценка, а оценки строк и столбцов определяется по формуле (I).

Пусть оценка первой строки равна 0. Тогда, пользуясь формулой (I), получим оценку первого столбца:

Vj=C₁₁- U₁ или Vj= 17-0=17, и запишем ее в столбец 1.

Полученную величину U₁, равную 17, используем для определения величины U₄, так как в первом столбце имеется заполненная клетка

С₄₁:U₄ = 18-17=( U₄=C₄₁-V₁)

Оценки четвертого и пятого столбцов соответственно будут равны

V₄=14 (V₄= C₄₄- U₄=15-1=14).

Таким же образом определяются все остальные оценки и записываются в соответствующие строки и столбцы.

При таком способе вычисления оценок план считается оптимальным в том случае, если для всех свободных клеток выдерживается требование

Ui+Vj Cij (II)

в задачах, решаемых на минимум функции, и

Ui+Vj Cij (III)

в задачах, решаемых по отысканию максимума функции.

В нашей задаче будет использовано правило (II): Ui+Vj Cij

Сделаем расчеты по проверке плана на оптимальность:

U₁ + V₂ = 0 + 9 = 9 ≤ 20

U₁ + V₃ = 0 +11 = 11 ≤ 20

U₁ + V₄ = 0 +14 = 14 ≤ 20

U₂ + V₁ = 1+17 = 18 ≤ 35

U₂ + V₄ = 1+14 = 15 ≤ 38

U₂ + V₅ = 1 +15 = 16 ≤ 25

U₃ + V₁ = 2 +17 = 19 ≥ 18

U₃ + V₂ = 2 + 9 = 11 ≤ 26

U₃ + V₅ = 2 +15 = 17 ≤ 42

U₄ + V₂ = 1 + 9 = 10 ≤ 19

U₄ + V₃ = 1 + 11 = 12 ≤ 34

U₄ + V₅ = 1 + 15 = 16 ≤ 19

Представленный в таблице план не является оптимальным, так как в клетке (а₃₁) на пересечении третьей строки и первого столбца не выдерживается требование (II).

Переход от неоптимального плана к новому (к очередной таблице) производится в такой последовательности:

1. Выбирается свободная клетка с наибольшим потенциалом (величина эта в таблице обведена овалом);

2. Строится прямоугольный многоугольник, исходная вершина которого находится в выбранной свободной клетке, остальные вершины – занятых клетках;

3. В вершинах многоугольника, чередуясь, расставляются знаки плюс и минус, начиная с плюса в выбранной клетке;

4. Количество грузов в положительных клетках увеличивается, а в отрицательных уменьшается на одну и ту же величину, а именно на наименьшее количество груза в отрицательной клетке. Количество груза в клетках, которые находятся вне вершины многоугольника, остается без изменения;

5. Исправленный таким образом план записывается в очередную таблицу, затем его исследует на оптимальность, как и предыдущий, и т.п.

В таблице 8 клетка а₃₁ – единственная, в которой не выдерживается признак оптимальности. Эту клетку включают в прямоугольный многоугольник, вершинами которого будут клетки: а₃₁- свободная, а₄₄, а₄₁ и а₃₄ – занятые; в первых двух из них поставлен знак плюс, в других - минус.

Минимальная величина в клетках со знаком минус равна 1000, в клетке а₃₄.

Количество груза в клетках со знаком плюс надо увеличить, а в клетках со знаком минус уменьшить на 1000. В результате этого количество груза в указанных клетках станет равным соответственно 1000, 1200, 50 и 0 (0 не следует оставлять в клетке а₃₄, так как в противном случае она будет считаться занятой). После исправления заполняется очередная таблица.

Полученный новый план в таблице 9 необходимо проверить на оптимальность. Для этого рассчитываются потенциалы и вычислительная процедура повторяется до получения оптимального варианта.

В таблице 9 все свободные клетки выдерживают требования Ui+Vi ≤ Cij ,что является свидетельством оптимальности полученного плана.

Чтобы определить, насколько оптимальный вариант выгоднее первого, надо вычислить сумму издержек для каждого случая.

По первому варианту она равнялась:

17×50 + 15×1000 + 10×900 + 12×400 +13×400 +16×1000 +18×1050 +13×200 = 72750

по оптимальному:

17×50 +15×1000 + 10×900 +12×400 +18×1000 +13×400 +18×50 +15×1200 = 71750,

или на 1000 меньше.

Заметим, что разницу в издержках по первому и второму вариантам можно определить и как произведение (U₃ + V₁ - C31)×1000, т.е. 2 + 17 – 18 = 1×1000 = 1000.

Как указывалось выше, при решении задач типа транспортной число занятых клеток в таблицах должно быть равно m+n-1. Если же в таблице число занятых клеток окажется меньше или больше чем (m+n-1), то вычисление потенциалов для всех строк и столбцов становится невозможным. Такое явление называется вырождением. Оно может встречаться как при составлении первого опорного плана, так и при его последовательном улучшении. Вырождение задачи можно преодолеть следующими приемами:

1. заново составить план, добившись нужного количества клеток:

2. если число занятых клеток меньше m+n-1, то объявить соответствующее число свободных клеток занятыми, проставив в них «0», причем занятыми могут быть объявлены только те свободные клетки, которые не образуют с другими занятыми клетками замкнутый контур, и желательно разместить «0» в выгодные Cij- (учитывая критерий оптимальности);

3. если в таблице возникло избыточное число занятых клеток, надо образовать контур только из занятых клеток, чередуя расстановку знаков «+», «-», и по алгоритму метода потенциалов сделать изменения в контуре, причем здесь также следует помнить о критерии оптимальности данной задачи, и поэтому сначала необходимо обратить внимание на величины Cij в клетках, входящих в контур, и затем определить величину, подлежащую перемещению.

Решение транспортной задачи возможно только при соблюдении равенства запасов потребностям в них. Такая модель задачи называется закрытой. Если же баланс ресурсов не выдерживается, то модель называется открытой.

Поэтому задачу сначала нужно привести к закрытому виду путем введения в таблицу строки фиктивного поставщика или столбца фиктивного потребления.

В качестве Cij по столбцу или строке (фиктивному потребителю или поставщику) берутся любые, но равные между собой величины, а дальше задачу решают по описанному выше алгоритму, учитывая критерий оптимальности.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2

Решение задач сводится к составлению экономико-математических моделей в развернутом и матричном видах.

При решении задач 1-10 значение технико-экономических коэффициентов при переменных необходимо выбирать из таблицы 10.

Таблица 10

Содержание питательных веществ и себестоимость

в расчете на единицу корма

№	Корма	Кормовые единицы	Переваримый протеин, г	Кальций, г	Фосфор, г	Каротин, мг
А	Б	1	2	3	4	5
1	Комбикорм	0,90	112,00	15,00	13,00	-
2	Ячмень молотый	1,21	81,00	1,20	3,80	1,00
3	Сено луговое	0,42	48,00	6,00	2,10	15,00
4	Сено клеверо-тимофеечное	0,50	52,00	7,40	2,10	30,00
5	Солома овсяная	0,31	14,00	4,30	1,00	4,00
6	Солома ячменная	0,36	12,00	3,70	1,20	4,00
'7	Силос кукурузный	0,20	14,00	1,50	0,50	15,00
8	Силос клеверо-тимофеечный	0,22	30,00	3,50	1,20	10,00
9	Картофель	0,30	16,00	0,20	0,70	-
10	Кормовая свекла	0,12	9,00	0,40	0,40	-
11	Обрат	0,13	31,00	1,20	1,00	-
12	Мясокостная мука	0,89	339,00	31,70	14,40	-
13	Отруби пшеничные	0,71	126,00	1,80	10,10	4,00
14	Травяная мука кле­верная	0,67	96,00	9,90	2,50	150,00
15	Мел	-	-	336,00	-	-
16	Овес	1,00	83,00	1,40	3,30	-

№	Корма		Сухое вещество, кг	Лизин, г	Метионин + Цистин, г	Трип- тофан, г	Себестоимость 1 кг кормов, руб.
А	Б		6	7	8	9	10
1	Комбикорм		0,87	4,10	3,40	1,30	5,8
2	Ячмень молотый		0,87	4,00	3,40	1,50	3,48
3	Сено луговое		0,85	2,10	0,50	0,60	0,45
4		Сено клеверо-тимофеечное	0,83	2,60	0,40	0,70	0,35
5		Солома овсяная	0,85	4,00	0,90	1,00	0,24
6		Солома ячменная	0,85	6,00	0,90	1,00	0,35
7		Силос кукурузный	0,26	2,50	0,60	0,90	0,63

Продолжение таблицы 10

А	Б	6	7	8	9	10
8	Силос клеверо-тимофеечный	0,31	3,60	0,80	1,00	0,85
9	Картофель	0,23	1,00	0,30	0,20	5,0
10	Кормовая свекла	0,13	0,50	0,10	0,10	0,8
11	Обрат	0,08	2,60	1,10	0,40	3,4
12	Мясокостная мука	0,95	28,70	14,70	4,60	116,5
13	Отруби пшенич­ные	0,87	5,50	4,00	1,90	3,16
14	Травяная мука клеверная	0,50	10,30	1,70	3,30	15,1
15	Мел	1,00	-	-	-	6,0
16	Овес	0,85	3,50	3,20	1,40	3,18

Пример 1. Требуется определить оптимальный вариант суточ­ного рациона кормления мясо-молочных коров в стойловый период. Средняя живая масса 450 кг, среднесуточный удой 16 кг, жирность молока 3,8%. Хозяйство располагает следующими кормами: концен­трированные (комбикорм), грубые(сено, многолетних трав и солома зерновых), силосные. Минимально допустимая потребность в пита­тельных веществах приведена в таблице 10. В рационе необходимо иметь не менее: 6 кг сена, 20 кг силоса и 4 кг концентрированных кормов.

Критерий оптимальности - минимальная себестоимость.

Постановка задачи.

Вводятся обозначения:

X₁- количество концентрированных кормов в рационе (ц);

Х₂- количество сена;

Х₃- количество соломы;

Х₄- количество силоса. Тогда модель запишется так:

Найти f(Х) = 5,8*X₁ + 0,45*X₂ + 0,24*X₃ + 0,63*X₄ > min

При условиях:

0,9Х₁ + 0,4Х₂ + 0,31Х₃ + 0,2Х₄ ≥ 1,3 (ограничение по питательным веществам);

112Х₁ + 48Х₂ +14Х₃ +14Х₄ ≥ 120 (ограничение по перевариваемому протеину);

Х₁ ≥ 4 (ограничение по комбикорму);

Х₂ ≥ 6 (ограничение по сену);

Х₃ ≥ 20 (ограничение по силосу);

Х ≥ 0 (переменные не могут принимать отрицательные значения).

Затем, для того, чтобы обеспечить решение задачи на ПЭВМ, модель записывается в матричном виде:

Содержание ограничений	Ед. изм.	X1	Х2	ХЗ	Х4	Знак ограничения	Значение ограничения
Кормовые единицы	кг	0,9	0,42	0,31	0,2	≥	1,3
Протеин	г	112	48	14	14	≥	120
Комбикорм	кг	1				≥	4
Сено	кг		1			≥	6
Силос	кг				1	≥	20
fХ)	руб.	1300	0,45	0,24	0,63	→	min

Пример 2. Составить экономико-математическую модель оп­тимизации распределения минеральных удобрений под яровую пше­ницу, морковь и картофель, если известно, что площадь посева их должна составлять соответственно 300, 75 и 100 га.

Рекомендуемые дозы внесения удобрений и прибавка урожая на 1 га:

Показатели	Яровая пшеница	Морковь	Картофель
Урожайность без внесения удобре­ний с 1 га, ц	18	110	137
Дозы внесения удобрений на 1 га, ц д.в.: азотных фосфорных калийных	0,6 0,8 0,5	0,5 0,7 0,9	0,9 0,6 0,8
Прибавка урожая за счет внесения удобрений с 1 га: центнеров рублей	10 140	30 320	50 650

Известно, что хозяйство под эти культуры может отпустить следующее количество минеральных удобрений (ц д.в.): азотных - 320, фосфорных - 340, калийных - 220. Учитывая план производства продукции, необходимо гарантировать производ­ство 7400 ц зерна, моркови 9500 ц и 16700 ц картофеля.

Критерий оптимальности - максимум прибавки урожая за счет внесения удобрений.

Составим экономико-математическую модель оптимизации распределения минеральных удобрений. Для этого обозначим через Х₁ - искомую удобряемую площадь яровой пшеницы (га), через Х₂ – удобряемую площадь моркови, а через Х₃ - удобряемую площадь картофеля (га).

Запишем систему ограничения в развернутом виде:

Условия по использованию и наличию минеральных удобрений:

0,6Х₁ + 0,5Х₂ + 0,9Х₃ ≤ 320 азотных

0,8Х₁ + 0,7Х₂ + 0,6Х₃ ≤ 340 фосфорных

0,5Х₁ + 0,9Х₂ + 0,8Х₃ ≤ 220 калийных.

Условия по удобряемой площади культур: яровой пшеницы Х₁ ≤ 300

моркови Х₂ ≤ 75

картофеля Х_З ≤ 100

Условия по гарантированному приросту продукции за счет внесения удобрений. Для составления данной группы ограничений рассчитаем га­рантированный объем производства зерна и картофеля за счет внесе­ния удобрений. Для этого из плана производства каждого вида про­дукции вычтем объем производства, получаемый с запланированной площади без внесения удобрений.

Так, зерна необходимо дополни­тельно произвести 7400 - 18×300 = 2000 ц,

моркови 9500 - 11×75 = 1250 ц, а картофеля 16700 - 137×100 = 3000 ц.

Ограничения примут вид: производство зерна 10Х₁≥2000, моркови 30Х₂≥1250 производство картофеля 50Х₃≥3000, Х ≥0 (переменные не могут принимать отрицательные значения)

Целевая функция - максимум стоимости прибавки урожая:

Z = 140Х₁ +320Х₂+ 650Х_З≥ max.

Затем, для того, чтобы обеспечить решение задачи на ПЭВМ, модель записывается в матричном виде:

Ограничения по ресурсам	Ед. изм.		Удобряемая площадь, га			Ресурсные ограничения
			яровая пше­ница	мор­ковь	карто­фель	знак огра­ниче­ния	по зна­чению
значения переменных			1	1	1
баланс удобрений
азотных	ц д.в.		0,6	0,5	0,9	≤	320
фосфорных	ц д.в.		0,8			≤	340
калийных	ц д.в.		0,5			≤	320
удобряемая площадь
яровой пшеницы	га		1			≤	300
моркови	га			1		≤	75
картофеля	га				1	≤	100
гарантированное производство
зерна		ц	10			≤	2000
моркови		ц		30		≤	1250
картофеля		ц			50	≤	3000
Целевая функция		ц	140	320	650	→	max

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 3

Задача. Хозяйство располагает посевной площадью 4500 га, естественными сенокосами 90 га, естественными пастбищами 580 га.

Задание по продаже государству (ц):

Зерна – 30000

Сахарной свеклы – 145100

Картофеля – 740

Подсолнечника –1300

Молока – 22800

Мяса КРС – 500

Мяса свиней – 160

Кроме кормов собственного производства, на корм животным могут быть использованы и корма, полученные в счет отоваривания за проданную в счет договорных обязательств продукцию в следующих размерах за 1 ц, кг ( табл.11)

Таблица 11

Виды реализуемой продукции	Комбикорм		Жом
	в счет договора	сверх договора	в счет договора	сверх договора
Подсолнечник	15	35	-	-
Сахарная свекла	1	1	25	37,5

Потребность в кормах и среднегодовая структура кормления животных приведена в таблице 12.

Таблица 12

Потребность в кормах и среднегодовая структура кормления животных

Виды животных	Потребность в кормах, ц		В том числе, ц корм. ед.в
			Грубых		Сочных		Зеленых	Концентриров.
	Корм. ед.	Перевар. протеин	Всего	в т.ч. сено	Всего	в т.ч силос	Всего	Всего
Коровы	40	4,1	6-9	2,5	12-14	10-12	10-12	8-10
Свиньи	17,5	1,8	-	-	1-2	0,2	1-2	14-16

Выход мяса на среднегодовую корову составляет 0,8 ц , молока – 26,5 ц, мяса на одну свинью – 1,3 ц. Реализационная цена на мясо КРС – 4000, молоко- 500 и мясо свиней – 4500 руб. за 1 ц.

Расход соломы озимых зерновых на подстилку – 12 ц на корову в год, на одну свинью- 7 ц в год.

Урожайность сельскохозяйственных культур (основной и побочной продукции), их питательность, а также питательность покупных кормов, нормативная информация представлены в таблице 13.

Требуется составить экономико-математическую модель задачи, максимизируя выход товарной продукции в денежной оценке.

РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ

Разработку модели начинают с выбора системы неизвестных. В нашей задаче перечень и содержание каждой из них приведены в таблице. В модели 32 переменных, обозначающих количество коров и свиней (Х₁ и Х₂), площади сельскохозяйственных культур, продукция которых идет для продажи государству (Х₄- Х₈), площади сельскохозяйственных культур для производства кормов коровами (Х₉- Х₁₈), количество побочных и промышленного производства кормов (Х₉- Х₂₄), площади сельскохозяйственных культур для производства кормов свиньям (Х₂₅- Х₃₁) и количество комбикорма свиньям (Х₃₂).

Как видно, состав переменных зависит от направлений использования сельскохозяйственной продукции, видов животных и др.

Ограничения можно разделить на пять основных групп.

Продажа продукции (1-7), посевная площадь (8), кормовые единицы всего, по группам кормов, переваримый протеин для каждого вида животных (9-30), расход кормов (31-36).

Первая группа ограничений гарантирует выполнение планов продажи продукции государству. Например, при плане продаж зерна в размере не менее 30000ц и возделывании озимых зерновых, яровых и кукурузы ограничение будет иметь следующий вид: 35Х₃ + 21,2Х₄ + 28Х₃ ≥ 30000,

где 35, 21,2 и 28 – коэффициенты при переменных, обозначающие товарную урожайность соответствующих культур (табл. 13)

Аналогично составляются ограничения по реализации молока и мяса.

Например, по молоку

по мясу КРС

по мясу свиней

Ограничение по общей посевной площади предусматривает, что сумма посевных площадей сельскохозяйственных культур с учетом семенных участков не должна превышать площади пашни, равной 4500 га.

При составлении ограничения по общей посевной площади важно не упустить такой момент, как выделение семенных участков для тех культур, по которым предусмотрено выращивание семян в данном хозяйстве.

Хозяйство покупает семена сахарной и кормовой свеклы, а по остальным культурам выращивает их на семенных участках, размер которых следует предусмотреть при составлении модели.

Что касается зерновых, картофеля и других культур, основная продукция которых является и семенным материалом, то это требование выполняется путем вычитания семенного материала из урожайности в ограничениях, которые показывают использование продукции. Так, в уже упоминавшемся ограничении(1) в использование направлено не 37 ц с га (урожайность озимых), а лишь 35 (табл. 6). По таким же культурам, как многолетние и однолетние травы на корм, подобная операция лишена смысла, и если хозяйство пользуется семенами собственного производства, в модель вводятся соответствующим образом скорректированные коэффициенты.

Величины коэффициентов определяются по формуле:

,

где Р- урожайность семенного участка, ц/га; N- норма высева на 1 га, ц.

Например, при урожайности семян многолетних трав 5 ц/га и норме высева 0,2ц на 1 га коэффициент при переменных х₁₇ и х₁₈ и х_30, х_31,обозначающих площадь многолетних трав на сено, зеленый корм, травяную муку (таблица 6), будет равен 1,04, рассчитанный как отношение урожайности семенников к их же урожайности за вычетом нормы высева: ( ).

Таким же образом рассчитывают коэффициенты при переменных по однолетним травам. Однако надо напомнить, что посевы однолетних трав используются один год, а многолетних – 2-3 года. Следовательно, при двухлетнем использовании многолетних трав дробную часть коэффициента 1,04 следует разделить на число лет использования трав т.е. на 2 и при переменных Х _17, Х _18, Х ₃₀ и Х ₃₁ будет коэффициент не 1,04, а 1,02. Этот коэффициент показывает, что при одном гектаре основного посева культуры следует иметь семенной участок размером 0,02 га.

Следующее требование (9): чтобы производство кормов для коров за счет специальных посевов, естественных угодий, побочной продукции и поступлений со стороны было не менее, чем по 40 ц кормовых единиц в расчете на 1 голову. Коэффициентами при переменных по кормам здесь, как и в ограничениях 10- 20, служат показатели выхода кормовых единиц с 1 га или содержание их в 1ц корма в зависимости от того, что означает переменная – площадь посева или количество корма.

В обычной записи это ограничение выглядит так:

23,3 Х₉+ 37Х₁₀ + 45,6Х₁₁ + 44Х₁₂ +38Х₁₃ + 13,5Х₁₄ + 30,8Х₁₅ +35Х₁₆ +18Х₁₇ + 48,4Х₁₈ + +0,2Х₁₉ + 0,32Х₂₀ + 0,37Х₂₁ + 0,16Х₂₂ + Х₂₃ + 0,12Х₂₄ +5432 40Х₁

Но так как в матрице переменные находятся по одну, а свободные члены по другую сторону от знака ограничения, потребовалось поменять местами величины 5432 и 40Х₁, изменив, естественно, знаки при них. В этом выражение 5432- количество кормовых единиц с естественных сенокосов и пастбищ (90 × 8,80 + 580 × 8,0 = =5432), а при Х₁- потребность в кормовых единицах в расчете на единицу поголовья коров.

Ограничения 9-20 также необходимы, так как, если в ограничениях не потребовать выполнения структуры кормления животных и дачи отдельных видов кормов в допустимых пределах, то в результате решения может оказаться, что общая годовая потребность животных в кормовых единицах будет обеспечена в большинстве своем за счет зеленых и других каких-либо кормов, что недопустимо с зоотехнической точки зрения.

Ограничение 21 обеспечивает потребность коров в протеине из расчета не менее 4,1ц на 1 голову.

Подобным же образом составляются ограничения 22-30, цель которых – обеспечить свиноводство необходимым количеством кормовых единиц и протеина, а также допустимую структуру рациона.

Группа ограничений 31-36 введена для того, чтобы увязать расход побочной продукции и продукции промышленного производства с поступлением этой продукции.

Смысл ограничения 31, например, сводится к тому, чтобы расход соломы озимых на корм коровам и на подстилку животным был не более ее поступления:

40Х₂ ≥ 7Х₁ + 3Х₂ + Х₁₉ ,

где 40 – урожайность соломы озимых, ц/га, а 7 и 3 – нормы расхода соломы озимых в расчете на 1 голову соответственно коров и свиней, ц.

Аналогично составляются ограничения 32-34. Что же касается ограничения 35, то оно по расходу комбикорма:

0,15 × 1300 + 0,35 × (20Х₆ - 1300) + 0,01 × 300Х₈ Х₂₃ + Х _32,

где 0,15 и 0,35 означают количество комбикорма, поступающего за 1 ц подсолнечника, проданного соответственно в счет планового и сверхпланового задания;

1300- плановое задание по производству подсолнечника;

0,01 – поступление комбикорма за каждый центнер проданной свеклы.

После преобразования данное выражение примет вид:

7Х₆+ 3Х₈ – Х₂₃ –Х₃₂ 260

Требует пояснения также формирование поступления жома. Согласно существующему порядку хозяйство получает жом за 1 ц свеклы при продаже ее в пределах и сверх плана соответственно 25 и 37,5 кг.

Пользуясь принятыми в модели обозначениями, это можно представить как:

0,25 × 145100 + 0,375 × (300Х₈- 145100) Х_24.

А после преобразования: 112,5Х₈ - Х₂₄ 18137,5.

В качестве критерия оптимальности в данной задаче выбран максимум товарной продукции.

Расчет коэффициентов целевой функции прост: переменными (Х₃-Х₈) приняты площади сельскохозяйственных культур для производства продукции на товарные цели, поэтому урожайность этих культур с 1 га умножили на соответствующие реализационные цены (табл.13), а при переменных Х₁ (поголовье коров) и Х₂ (поголовье свиней) коэффициенты соответственно равны 16450 и 5850 руб., определенные путем вычисления денежной оценки продуктивности животных:

( 26,5 × 500 + 0,8 × 4000 = 16450и 1,3 × 4500=5850).

В целом целевую функцию можно выразить следующим образом:

Z= 16450 Х₁+ 5850Х₂+ 6300Х₃+ 3392Х₄+4760Х₅+9600Х₆+31500Х₇ + 65000Х₈ → max

Таблица 13

Урожайность сельскохозяйственных культур и оценка кормов

по питательности, реализационные цены

С.-х. культуры и виды продукции	Урожайность, ц/га	Урожайность семян на 1 га, ц	Урожайность за вычетом нормы высева, ц/га	Содержится в 1 ц, ц		Сбор с 1га		Реализационная цена, руб.	Товарная продукция с 1 га в денежной оценке, руб.
				корм. ед.	перевар. протеина	корм. ед.	перевар. протеина
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Озимые зерновые	37,0	2	35,0	1,12	0,10	39,2	3,5	180	6300
Яровые зерновые	23,0	1,8	21,2	1,10	0,08	23,3	1,7	160	3392
Кукуруза на зерно	28,2	0,2	28,0	1,32	0,08	37,0	2,24	170	4760

Продолжение таблицы 13

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Подсолнечник	20,2	0,2	20,0	-	-	-	-	480	9600
Сахарная свекла	300	-	300	-	-	-	-	105	31500
Картофель	160	30	130	-	-	-	-	500	65000
Корм. корнеплоды	380	-	380	0,12	0,01	45,6	3,8	-	-
Кукуруза:
на силос	220	-	220	0,2	0,014	44,0	3,1	-	-
на з/корм	190	-	190	0,2	0,015	38,0	2,85	-	-
Однолетние травы:
на сено	30	-	30	0,45	0,06	13,5	1,8	-	-
на з/корм	140	-	140	0,22	0,03	30,8	4,2	-	-
на сенаж	100	-	100	0,35	0,034	35,0	3,4	-	-
Многолетние травы:
на сено	40	-	40	0,45	0,10	18,0	4,0	-	-
на з/корм	220	-	220	0,22	0,04	48,4	8,8	-	-
на муку	30	-	30	0,85	0,135	25,5	4,05	-	-
Естественные:
сенокосы	18	-	18	0,49	0,04	8,80	0,72	-	-
пастбища
Солома:
озимых	40	-	40	0,2	0,025	8,0	1,0	-	-
яровых	40	-	40	0,2	0,005	-	-	-
Стебли кукурузы	20	-	20	0,32	0,014	-	-	-	-
Ботва сах.свеклы	30	-	30	0,37	0,02	-	-	-	-
Комбикорм	75	-	75	0,16	0,019	-	-	-	-
Жом	-	-	-	0,12	0,006	-	-	-	-

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике: учебник.- М. 2002.

2. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике : учебное пособие.- М.,2002.

3. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве.- М.: Агропромиздат, - 1990.- 431 с.

4. Практикум по математическому моделированию экономических процессов в сельском хозяйстве (под редакцией Карненко А.Ф.).- М: Агропромиздат, - 1985.- 269с.

5. Тунеев М.М., Сухоруков В.Ф. Экономико- математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. М.:Финансы и статистика,- 1986.- 144 с.

6. Кравченко Г.Г. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве.- М.: Колос, - 1978.- 431 с.

План 2003, п. 284

Пахомова Лариса Дмитриевна

Математическое моделирование производственно-экономических

процессов и систем

Редактор Л.А.Ушаков

Сданов печать 3.11.03 г. 1,8 уч. – изд. л.

Тираж 100 экз. Заказ № ______.

308503, Майский, Типография БелГСХА