и расстояние до наихудшего опорного варианта

7. Для каждого варианта задается показатель его удален­ности от наихудшего опорного варианта как

(23.13)

Очевидно, что для показатель а для

показатель

tolerance=1000 8. Упорядочение вариантов по предпочтитель­ности строится по убыванию значения показателя относи­тельной удаленности варианта от наихудшего опорного вари­анта . Лучший вариант А* определяется максимальным зна­чением показателя удаленности от наихудшего опорного варианта

Пример 23.7. Исходные и преобразованные многокритери­альные экспертные оценки проектов строительства предприятия приведены в прил. П.1 и П.2. Считаем, что все эксперты равно компетентны, вес каждого критерия для всех экспертов один и тот же и значит, матрицы агрегированных оценок Y и

совпадают. Экспертные оценки проектов по крите­

риям усредненные по всем проектам, и соответству­

ющие этим проектам агрегированные оценки, усредненные по всем экспертам, указаны в прил. П.4.

Агрегированные векторные оценки проектов, усредненные по всем экспертам с учетом равной важности критериев и одинако­вой компетентности экспертов, имеют следующий вид, где для удобства запятые между компонентами векторов опущены:

Наилучший и наихудший опорные проекты представляются векторами:

Евклидовы расстояния между отдельными проектами и наилучшим или наихудшим опорными проектами, вы­численные по усредненным экспертным оценкам, равны соответ­ственно:

5

5 ?

А \ ■ / / / & \ , / а \ ~ /

Значения показателя относительной удаленности вари­

анта от наихудшего опорного варианта задаются величи­нами:

Упорядочение проектов по уменьшению значения показате­ля относительной удаленности от наихудшего опорного вариан­та имеет вид:

Лучшим является проект вторым по предпочтительно­сти — проект Оценки проектов практи­чески не отличаются, поэтому проекты в каждой из этих групп можно считать условно эквивалентными друг другу. Упорядоче­ние проектов почти полностью совпадает с упорядочением, по­лученным методом РАМПА (см. пример 23.6). ■

Для вычисления расстояний (23.11) и (23.12) между вариан­тами вместо метрики Евклида (8.7) можно воспользоваться и другими метриками, например метрикой Хемминга (8.6):

Соответственно изменятся выражение (23.13) для показателя относительной удаленности варианта от наихудшего вари­анта а значит, может оказаться иным и итоговое упорядоче­ние вариантов.

Как нетрудно установить из выражений (23.11) и (23.12), из­менение порядка агрегирования оценок вариантов (по критери­ям и по экспертам) дает несовпадающие итоговые результаты. Тем самым метод ТОПСИС не удовлетворяет принципу инвари­антности агрегирования индивидуальных многокритериальных предпочтений. Упорядочения, полученные с использованием ме­тода ТОПСИС, отличаются также от упорядочений по усреднен­ным балльным оценкам и агрегированной ценности, хотя голов­ные части всех этих упорядочений одинаковы.

23.10. Метод оценки близости к опорной точке с суммарными оценками

Метод АРАМИС (Агрегирование и Ранжирование Альтер­натив около Многопризнаковых Идеальных Ситуаций), предна­значенный для коллективного упорядочения многокритериаль­ных вариантов, разработан А. Б. Петровским (Россия, 2001). Ме­тод основан на оценке взвешенной близости вариантов к опор­ной точке, когда варианты описаны агрегированными индивиду­альными экспертными оценками, представленными в виде муль­тимножеств. Метод АРАМИС принадлежит к четвертой группе методов рационального выбора и включает следующие этапы.

1. Каждый вариант из заданной совокупности оценивается каждым экспертом по всем крите­

риям имеющим установленные шкалы оценок. Каж­

дый критерий может иметь свою собственную шкалу оценок. На­пример, количественный критерий — балльную шкалу от 0 до 10 или любую другую числовую шкалу. Шкала качественного кри­терия может быть вербальной, например: очень высокая оценка (ов), высокая (в), средняя (с), низкая (н), очень низкая (он), мо­жет быть символьной шкалой или какой-то иной.

2. Порядковая шкала критерия в за­висимости от смыслового содержания критерия упорядочи­вается от более предпочтительных оценокк менее предпочти­тельным оценкам как

2. Каждому варианту ставится в соответствие мультимно­жество экспертных оценок вида:

(23.14)

где с — число экспертов, давших варианту Ai по критерию

оценку

2. Если критерии имеют шкалы раз­ной «длины» состоящие из неодинакового числа градаций, то для сопоставимости оценок вариантов по различным крите­риям и удобства последующей интерпретации полученных ре­зультатов целесообразно согласовать шкалы всех критериев и привести их к одному и тому же масштабу для всех Для всех критериев вводится единая унифи­цированная шкала с одинаковыми по смыслу градациями оценок, упорядоченными от более предпо­чтительных к менее предпочтительным как

В зависимости от специфики задачи это можно сделать, или «сжимая» более «длинную» шкалу путем объеди­нения нескольких соседних градаций оценок в

одну градацию или «растягивая» более «короткую» шка­лу за счет ввода фиктивных промежуточных градаций оценок

между существующими градациями и полагая с Можно применять оба эти способа согласования шкал оценок и одновременно.

2. Каждое мультимножество экспертных оценок (23.14), соответствующее варианту записывается в следующем пре­образованном виде:

Здесь с — общее число экспертов,

которые дали варианту оценки по старой шка­

ле критерия

6. В пространстве мультимножеств оценок задаются две опор­ные точки — мультимножества

которые соответствуют наилучшему варианту (идеальной си­туации) и наихудшему варианту (антиидеальной ситуации) Наилучшему варианту все t экспертов поставили по всем критериям только лучшие оценки, а наихудшему вариан­ту — только худшие оценки. Для «положительного» крите­рия K_q лучшей оценкой является оценка или

а худшей оценкой — оценка или Для «отрица­

тельного» критерия наоборот, оценка или будет луч­шей оценкой а оценка или — худшей оценкой Таким образом, в мультимножествах . числа

при всех

остальных оценках

7. Если критерии имеют для суперЛПР разную

важность, то для каждого критерия вычисляется его вес

используя одну из процедур, описанных в разд. 8.3. Веса крите­риев обычно нормированы:

8. Для каждого варианта в пространстве мультимножеств оценок по основной метрике вычисляется расстояние до наилуч­шего опорного варианта

(23.15)

и расстояние до наихудшего опорного варианта

(23.16)

которые принимаются соответственно за показатель близости варианта к наилучшему опорному варианту и показатель удаленности варианта от наихудшего опорного варианта

8. Для каждого варианта задается показатель его относи­тельной близости к наилучшему опорному варианту

(23.17)

Очевидно, что для показатель а для

показатель

8. Упорядочение вариантов по предпочтительности строит­ся по возрастанию значения показателя относительной бли­зости варианта к наилучшему опорному варианту . Луч­ший вариант А* определяется минимальным значением показа­теля близости к лучшему опорному варианту

Заметим, что, как и в методе ТОПСИС, выбор другой метри­ки для вычисления расстояний между вариантами может приве­сти к их иному итоговому упорядочению.

Пример 23.8. Исходные и скорректированные многокрите­риальные экспертные оценки проектов строительства предприя­тия указаны в при л. П.1 и П.З. Будем считать, что все эксперты равно компетентны, вес каждого критерия для всех экспертов один и тот же:

Введем единую для всех критериев унифицированную шкалу

имеющую вербальные градации оце­нок: — очень высокая — высокая — средняя

— низкая — очень низкая . Числовые оцен­

ки по шкалам количественных критериев К\ —К^ выраженные в баллах от 0 до 10, преобразуем в вербальные оценки следую­щим образом: 10, 9 — очень высокая ; 8, 7 — высокая ; 6, 5,

4 — средняя 3, 2 — низкая 1,0 — очень низкая Шка­лы «положительных» качественных критериев ' совпада­ют с унифицированной шкалой . На шкалах «отрицательных» качественных критериев более предпочтительными яв­ляются меньшие опенки, поэтому градации оценок преобразу­ются по правилам:

. Преобразованные экспертные оцен­ки проектов по критериям имеющим унифи­цированные шкалы, и соответствующие этим проектам мульти­множества даны в при л. П. 5.

Приведем для примера многокритериальные экспертные оценки проекта данные по критериям с исходными

и преобразованными шкалами, и мультимножество , соответ­ствующее этому проекту:

Мультимножества , соответствующие проектам

записываются аналогично.

Наилучший и наихудший проекты представляются мульти­множествами

Расстояния между отдельными проектами и наилучшим или наихудшим проектами, вычисленные по формулам (23.15), (23.16) равны соответственно:

Значения показателя относительной близости проекта

к наилучшему проекту (23.17) задаются величинами:

Упорядочение проектов по увеличению значения показателя относительной близости к наилучшему проекту имеет вид

Лучшим является проект , вторым по предпочтительно­сти — проект Оценки проектов

практически не различаются, поэтому проекты в каждой из этих групп можно считать условно эквивалентными друг другу. Упо­рядочение проектов отличается от упорядочений, полученных другими методами (см. примеры 23.3 — 23.7). ■

В методе АРАМИС все мультимножества, представляющие варианты и опорные точки, а также расстояния между ними

формируются только путем суммирования индивидуальных оце­нок по экспертам и критериям. Поэтому результаты вычисле­ний по формулам (23.15) — (23.17) не зависят от порядка этого суммирования. Таким образом, метод АРАМИС удовлетворяет принципу инвариантности агрегирования индивидуальных мно­гокритериальных предпочтений.