Глава 21 голосование

21.1. Механизмы и процедуры голосования

Голосование — один из наиболее распространенных, популяр­ных и давно известных способов коллективного принятия реше­ний, который применяется для выбора наиболее предпочтитель­ного для всех варианта в различных по размеру группах. Если число избирателей достаточно велико, то такой выбор называют социальным или общественным.

Разные системы голосования отличаются используемыми процедурами сравнения вариантов, правилами подсчета голосов и определения победителей, формами организации и проведения выборов. «Честные» выборы предполагают независимость изби­рателей, свободу волеизъявления голосующих, отсутствие нару­шений установленных процедур и правил голосования. Вместе с тем, как оказалось, разные системы голосования могут давать различные результаты даже при соблюдении всех условий «чест­ности» выборов.

Обоснование процедур голосования и формализация правил подсчета голосов для определения победителей были одними из первых задач коллективного принятия решений, привлек­ших внимание исследователей. Еще в конце XVIII в. француз­ские ученые Жан Борда, математик, физик и морской штурман, и маркиз Жан де Кондорсё, общественный деятель, секретарь Французской академии, философ-просветитель, математик и со­циолог, приступили к систематическому изучению задачи голо­сования. Борда доложил свои результаты по формам выборов на заседании Королевской академии наук в Париже в 1770 г. и опубликовал их в 1784 г., а Кондорсе — в 1785 г. В XIX в. про­блемы голосования изучались французским математиком и фи­зиком П. Лапласом и английским математиком Ч. Доджсоном. Первым же, кто предложил (1951) аксиоматику рационального коллективного выбора, был К. Эрроу, американский математик и экономист, впоследствии лауреат Нобелевской премии.

Голосование объединяет два механизма: индивидуальный вы­бор избирателей и подведение итогов выборов, которые обыч­но выполняются разными людьми. Индивидуальный выбор осу-

ществляется всеми избирателями, которыми могут быть жители страны, области или города, члены комитета или жюри. Очевид­но, механизмы голосования и волеизъявления должны быть про­стыми и понятными для всех избирателей. Для выявления ин­дивидуальных предпочтений избирателей применяются две ос­новные разновидности процедур: неранжирующая и ранжирую­щая.

В неранжирующей процедуре голосования каждый избира­тель отдает свой голос за один или несколько имеющихся аль­тернативных вариантов. В одних процедурах следует голосовать только за определенное число вариантов, например за одного кандидата на парламентских выборах или за нескольких претен­дентов по числу лиц, избираемых в состав руководящего органа; в других допускается голосование за любое произвольное число вариантов. Голоса, поданные за каждый вариант, суммируются.

В ранжирующих процедурах голосования требуется, чтобы каждый избиратель оценивал все имеющиеся варианты. В одних случаях предлагается полностью или частично упорядочить все варианты по предпочтительности и расположить их в порядке убывания предпочтительности; в других необходимо провести парное сравнение вариантов и указать предпочтительность од­ного из них.

Результаты голосования подводит независимая избиратель­ная комиссия по определенным правилам и под строжайшим наблюдением и контролем. Механизм подсчета голосов может быть и не очень простым по сравнению с механизмом голосова­ния, но он должен быть прозрачным, точным и эффективным.

При подсчете голосов учитывается ряд дополнительных усло­вий. Если все избиратели являются равноправными участника­ми, то обычно один голосующий имеет 1 голос или т голосов по числу сравниваемых вариантов при так называемом куму­лятивном голосовании. В последнем случае голосующий дол­жен по своему усмотрению распределить эти т голосов между произвольными вариантами. Если избиратели неравноправны, то каждый из них располагает определенным и, как правило, неравнозначным числом голосов. Например, председатель жю­ри или генеральный директор компании имеет право на два го­лоса при рассмотрении спорных ситуаций; акционер имеет число голосов, равное количеству принадлежащих ему акций; выбор­щики на выборах президента США имеют число голосов, равное числу избирателей штата, и все эти голоса отдаются одному кан­дидату, победившему в штате на промежуточных выборах.

21.2. Правила определения победителя

Для определения лучшего по итогам голосования варианта наиболее часто используются следующие правила:

• один голос «за» или 1-большинство голосов — лучшим счи­тается вариант, за который проголосовал хотя бы один участник, а остальные участники воздержались от выбора;

• относительное большинство голосов — лучшим считает­ся вариант, за который проголосовало большинство участников (больше, чем за любой другой вариант, но необязательно более половины от общего числа голосов);

• простое большинство голосов — лучшим считается вари­ант, за который проголосовало простое большинство участников (более половины от общего числа голосов);

• абсолютное или квалифицированное большинство голо­сов — лучшим считается вариант, за который проголосовало больше заранее заданного числа участников (например, более двух третей или более трех четвертей от общего числа голосов);

• (к₁,к₂)-большинство голосов — лучшим считается вариант, за который проголосовало не менее чем к₁ участников и про­тив — не более чем к₂ участников;

• единогласие — лучшим считается вариант, за который про­голосовали все участники;

• вето — вариант не выбирается, если против него проголо­совал хотя бы один участник независимо от результатов голосо­вания остальных участников.

Каждому из правил большинства голосов можно сопоставить некоторое мажоритарное отношение, по которому определяет­ся победитель при попарном сравнении вариантов, аналогичное приведенному в разд. 19.5. Все правила большинства голосов можно объединить одним правилом к- большинства, где число к устанавливает порог большинства голосов или так называе­мую квоту. Участники, проголосовавшие одинаково, представ­ляют собой коалицию.

В применяемых на практике системах голосования использу­ются разные виды итогового коллективного выбора. В качестве основных результатов выбора укажем: выбор единственного ва­рианта из имеющихся; выбор заданного числа вариантов; выбор произвольного числа вариантов; упорядочение всех или опреде­ленной части вариантов. Так, в системе мягкого рейтинга каж­дый участник может голосовать за любое произвольное число имеющихся вариантов. Победитель определяется по правилу от-

носительного большинства голосов. Такая система голосования часто используется в парламентах.

Системы голосования различаются также формами своей ор­ганизации (одно-, многотуровые), правилами определения побе­дителей каждого тура. В многотуровых процедурах коллектив­ного принятия решений процесс поиска победителя или итого­вого упорядочения вариантов разбивается на несколько туров или этапов, на каждом из которых может использоваться своя система голосования, свои правила подсчета голосов и опреде­ления победителей, выходящих в следующий тур выборов. На­пример, в системе голосования, основанной на процедуре исклю­чения худшего варианта, каждый участник попарно сравнива­ет все варианты по предпочтительности. Вариант, признанный худшим большинством голосов участников, исключается из рас­смотрения. Процедура повторяется до тех пор, пока не останет­ся единственный лучший вариант. Эта система голосования ис­пользуется в конгрессе США.

Победители конкурсов определяются коллективным решени­ем жюри, которое обычно также принимается голосованием. Ес­ли конкурс проводится в несколько туров и по разным груп­пам участников (например, в музыкальном конкурсе принимают участие пианисты, скрипачи, виолончелисты и другие музыкан­ты), то вначале специализированные по номинациям жюри про­водят последовательный отсев участников, допуская к следую­щему туру только часть лучших исполнителей. На заключитель­ном туре определяются победители по каждому виду конкурса, занявшие первое, второе и третье места. На окончательное рас­пределение мест могут повлиять оценки, полученные участника­ми на каждом из туров, а также состав участников. Часто фаво­риты получают завышенные оценки независимо от показанных результатов. Кроме того, на каждом отдельном туре и по каждо­му виду конкурса могут использоваться свои процедуры и пра­вила для определения лучших участников и победителей, что тоже оказывает свое влияние на итоговые результаты конкурса.

Для оценки применимости той или иной системы голосова­ния весьма существенно установить, какие правила необходимы и достаточны в реальных условиях, чтобы адекватно упорядо­чить кандидатов и/или определить победителя. Оказалось, что использование того или иного способа обработки и подсчета по­данных голосов может заметно повлиять на итоговые результа­ты голосования и дать разных победителей выборов. Такие си­туации получили название парадоксов голосования. Первый па-

радокс голосования был обнаружен де Кондорсе (1785) и впо­следствии получил его имя. Позднее были найдены и другие па­радоксы коллективного выбора.

Рассмотрим наиболее известные процедуры голосования.

21.3. Процедуры Борда

Процедура Борда (1770) была исторически первой системой голосования, где использовалась ранжирующая процедура уче­та мнений голосующих. Она является естественным и коррект­ным способом коллективного выбора, который обеспечивает всем участникам возможность выразить индивидуальные пред­почтения и позволяет учесть интересы меньшинства. Процедура состоит из следующих шагов.

1. Каждый участник ранжирует все варианты по предпочтительности.

2. В каждом 5-м индивидуальном строгом упорядочении пер­вый вариант получает m — 1 баллов, второй вариант — m — 2 баллов, последний вариант — 0 баллов. Очевидно, что в s-м упо­рядочении балл Борда каждого варианта равен чис­лу вариантов , которые уступают варианту

Здесь величина , если , и ,

если

3. Для каждого варианта вычисляется значение функции Борда

равное сумме баллов Борда , присвоенных варианту во

всех индивидуальных упорядочениях.

4. Упорядочение вариантов строится поубыванию значения функции Борда . Лучший вариант определяется мак­симальным значением функции Борда

Отметим, что балл Борда связан с рангом ва­

рианта , введенным формулой (3.1), соотношением:

Тем самым убывающая последовательность баллов

Борда эквивалентна возрастающей по­

следовательности рангов вариантов

Пример 21.1^I. Предположим, что 60 избирателей должны выбрать одного из трех кандидатов А, В и С. Пусть при исполь­зовании ранжирующей процедуры учета мнения избирателей их индивидуальные предпочтения распределились следующим об­разом:

Вычислим значение функции Борда для каждого из кан­дидатов, полагая, что в индивидуальном упорядочении первому кандидату присваивается 2 балла, второму — 1 балл, третьему — 0 баллов.

Тогда получаем:

для кандидата А

для кандидата В

для кандидата С

Упорядочение кандидатов в соответствии со значениями функции Борда имеет вид: поскольку

. Лучшим является кандидат В. ■

Модифицированная процедура Борда учитывает возможные различия индивидуальных предпочтений избирателей.

1. Каждый участник ранжирует все варианты по предпочтительности.

2. Подсчитывается количество индивидуальных строгих упо­рядочений одного и того же вида.

3. Для каждого варианта подсчитывается общее число

участников, предпочитающих данный вариант всем остальным вариантам при парных сравнениях во всех полу­ченных упорядочениях.

3. Для каждого варианта вычисляется значение модифи­цированной функции Борда

3. Упорядочение вариантов строится по убыванию значения модифицированной функции Борда . Лучший вариант

определяется максимальным значением функции Борда

Вместо шагов 1, 2 каждый голосующий может попарно срав­нить все варианты друг' с другом и по результатам сравнений построить упорядочение вариантов (см. разд. 4.1).

Нетрудно убедиться, чтофункция Борда представ­

ляет собой общее число участников, предпочитающих

данный вариант всем остальным вариантам при

парных сравнениях:

Пример 21.2. Пусть выполняются условия примера 21.1. Вычислим значения функций Борда для каждого из кандида­тов . Если во всех упорядочениях рассматривать только парные сравнения кандидатов 1 избирателя считают кандидата А предпочтительнее кандидата

избирателей — кандидата В предпочтительнее кандидата А. Аналогичным образом, сравни­вая остальные пары кандидатов, получим

Значения функции Борда для кандидатов:

Таблица 21.1

Групповая матрица G парных сравнений, функции Борда

кандидатов

G	А	В	С	fв	fвm
А	—	33	25	58	-4
В	27	—	42	69	18
С	35	18	—	53	-14

Значения модифицированной функции Борда

Представим распределение числа избирателей при парных сравнениях кандидатов . групповой матрицей

Значения элементов матрицы G и функций Борда указаны в табл. 21.1. Упорядоче­ние кандидатов в соответствии со значениями модифицирован­ной функции Борда имеет вид: , поскольку . Лучшим является кандидат В. Тот же результат дает применение функции Борда . ■

21.4. Процедура Кондорсе

Анализируя различные системы голосования, Кондорсе сформулировал принцип, обеспечивающий, по его мнению, чест­ные и справедливые результаты выборов. Как писал Кондор­се, «существует только один правильный путь выяснения мне­ния большинства на выборах. Он состоит в попарном сравне­нии соответствующих достоинств кандидатов... Тот, кто дей­ствительно получает предпочтение большинства голосов на вы­борах, должен казаться наиболее превосходящим своих конку­рентов и, таким образом, является тем, кто утверждается боль-

шинством голосов, как превосходящий всех»^I. Другими слова­ми, принцип Кондорсе гласит: победителем на выборах объяв­ляется кандидат, превосходящий при попарном сравнении все$ остальных кандидатов по правилу простого большинства голо­сов. В таком случае нет необходимости проводить многократное баллотирование кандидатов.

Процедура Кондорсе (1785), реализующая этот принцип, бази­руется на ранжирующей процедуре учета мнений голосующих и состоит из следующих шагов.

1 — 3. Совпадают с шагами 1 — 3 модифицированной проце­дуры Борда и состоят в построении группового распределения участников, попарно сравнивающих предпочтительность вари­антов по отношению друг к другу во всех полученных индиви­дуальных строгих упорядочениях.

4. Лучший вариант при попарном сравнении вариантов опре­деляется по правилу простого большинства голосов.

Пример 21.3. Пусть выполняются условия примера 21.1 и предпочтения избирателей при попарном сравнении кандидатов А, В и С распределились так:

По мнению большинства избирателей, кандидат А превосхо­дит кандидата В, поскольку Аналогично, кан­дидат В превосходит кандидата С, так как , а кандидат С кандидата А, так как . Таким об­разом, получается несогласованное коллективное предпочтение: , содержащее цикл, вследствие чего нельзя вы­брать лучшего кандидата. ■

Причина возникшего противоречия — так называемого пара­докса Кондорсе — состоит в том, что результаты парных сравне­ний вариантов, полученные путем суммирования количества ин­дивидуальных упорядочений, являются взаимозависимыми. Ес­ли индивидуум утверждает, что , то должно быть и . Однако когда правило большинства применяется

к совокупности этих индивидуальных утверждений, результаты \могут оказаться другими, в том числе и несогласованными. \ Действительно, в примере 21.3 кандидат А предпочтитель­нее кандидата В по большинству голосов («за» — 33 голоса), ^предпочтительнее С («за» — 42 голоса), С предпочтительнее Л\(«за» — 35 голосов). Но эти три множества избирателей, го­лосовавших «за» своего кандидата, совершенно различны. Бо­ле^ того, эти множества даже не пересекаются, поскольку нет ни одного участника, который одновременно входил бы во все три множества голосующих «за».

Если воспользоваться правилом абсолютного большинства, то победителем станет кандидат набравший 42 голоса при парных сравнениях с остальными кандидатами. В то же вре­мя согласно правилу относительного большинства при неран- жирующей процедуре учета мнений избирателей лучшим кан­дидатом должен быть признан кандидат А, за которого выска­зались 23 голосовавших, тогда как за кандидата В было подано 17 + 2 = 19 голосов, а за кандидата С — 10 + 8 = 18 голосов. Как видно, результаты выборов существенно зависят от приня­той системы голосования. Итак, может оказаться, что у группы участников не будет единственного обоснованного коллективно­го предпочтения.

Заметим также, что в общем случае вариант, лучший по про­цедуре Кондорсе, может не совпадать с вариантом, лучшим по процедуре Борда.

21.5. Процедуры Симпсона

Процедура Симпсона (1965) позволяет избежать возникнове­ния парадокса несогласованности Кондорсе и состоит в следую­щем:

1 — 3. Совпадают с шагами 1 — 3 модифицированной процеду­ры Борда и процедуры Кондорсе.

4. Для каждого варианта определяется значение функции Симпсона

5. 

равное минимальному числу участников, предпочитающих дан­ный вариант всем остальным вариантам при всех парных сравнениях.

4. Упорядочение вариантов строится по убыванию значения функции Симпсона . Лучший вариант определяет-

Таблица 21.2

Групповая матрица G парных сравнений, функции Симпсона кандидатов

G	А	В	С	fs	/т
А		33	25	25	33
В	27		42	27	42
С	35	18	—	18	35

ся максимальным значением функции fs или правилом макси- мина:

В процедуре, двойственной процедуре Симпсона, для опреде­ления лучшего варианта А* используется правило минимакса:

В этих процедурах правила определения лучшего вариан­та А* являются аналогами правил «гарантированного резуль­тата», выявляющего победителя группового турнира, а группо­вая матрица парных сравнений кандидатов , где , аналогична турнирной матрице (см. разд. 19.5).

Пример 21.4' Пусть выполняются условия примера 21.1. Вычислим значения двойственных функций fs и fx для каждо­го из кандидатов А, В и С:

Групповая матрица парных сравнений кандидатов G = = (9ij)mxm, 9ij = g(Ai,Aj), и значения функций Симпсона f_s и fx приведены в табл. 21.2.

Упорядочение кандидатов в соответствии со значениями функции fs имеет вид: , поскольку

. Лучшим является кандидат В. Упорядочение канди­датов в соответствии со значениями функции fx имеет вид:

v поскольку /т(А) < fr{C) < /т(-В). Лучшим яв­

ляется кандидат А. Таким образом, в общем случае лучшие ва­рианты, выбранные по правилам максимина и минимакса, могут не совпадать друг с другом. ■

21.6. Процедура Доджсона

!Процедура Доджсона (1877) представляет собой модифика­цию подхода Кондорсе, которая позволяет устранить несогласо­ванность коллективного предпочтения при построении резуль­тирующего упорядочения вариантов. Основная идея процедуры Доджсона заключается в следующем: все варианты упорядочи­ваются по числу голосов, которых им не хватает для того, чтобы превосходить все остальные варианты по простому большинству (более половины от общего числа) голосов.

1 — 3. Совпадают с шагами 1 — 3 модифицированной процеду­ры Борда и процедуры Кондорсе.

4. Строится вспомогательная матрица , где hij =

— групповая матрица парных сравнений вариантов по числу поданных голосов. Для каждого варианта

по строке матрицы Н находятся варианты , для которых Это как раз и будут те варианты, в сравнении с которы­ми вариант А{ получил меньше половины от общего числа голо­сов. Обозначим совокупность таких вариантов через /4i/2-

4. Для каждого варианта А{ вычисляется значение функции Доджсона

где если число t избирателей четно, и

при нечетном t.

4. Упорядочение вариантов строится по возрастанию значе­ния функции Доджсона Лучший вариант А* определя­ется минимальным значением функции Доджсона

Пример 21.5. Пусть выполняются условия примера 21.1. Представим распределение числа голосов избирателей при по­парном сравнении кандидатов А, С двумя групповыми мат­рицами (табл. 21.3).

Кандидат А превосходит кандидата Б, а чтобы превосходить кандидата С по простому большинству голосов кандидату А не

Таблица 21.3 Групповые матрицы G и Н парных сравнений, функция Доджсона кандидатов

Н	А	В	С
А	—	33/27	25/35
В	27/33	—	42/18
С	35/25	18/42	—

хватает Аналогично, кан­

дидату В не хватает голосов, что­

бы превосходить кандидата А по простому большинству голо­сов, а кандидату С не хватает го­лосов, чтобы превосходить кандидата В. Тогда значения функ­ции Доджсона для кандидатов будут равны:

Упорядочение кандидатов в соответствии со значениями функции Доджсона имеет вид: , поскольку

Лучшим является кандидат В. Заме­тим, что в данном примере для каждого варианта А{ есть только один превосходящий его вариант . В общем случае это не так, т. е. вариантов , превосходящих вариант по простому боль­шинству голосов, может быть несколько. ■

21.7. Процедуры Нансона и Кумбса

Процедура Нансона (1882) объединяет подход Борда и прин­цип Кондорсе. Основная идея процедуры состоит в последова­тельном сокращении множества вариантов путем исключения получивших минимальное число голосов до тех пор, пока не останутся неисключаемые варианты. Эти варианты и будут счи­таться результатом коллективного выбора.

1 — 3. Совпадают с шагами 1 — 3 процедуры Борда. Вместо шага 1 каждый участник может провести попарные сравнения всех вариантов друг с другом и по матрице парных

сравнений упорядочить все варианты.

4. Определяется вариант , соответствующий минимально­му значению функции Борда,

G	А	В	С	Id
А	—	33	25	5
В	27	—	42	3
С	35	18	—	12

Этот вариант исключается из рассмотрения.

5. Повторяются шаги 1 — 4, и на суженном множестве Ai = вариантов находится следующий вариант А₂ , имею­

щий минимальное число голосов, который исключается из рас­смотрения.

6. Шаги 1 — 4 повторяются, пока не останется один или не­сколько вариантов, которые дальше нельзя исключить. Остав­шиеся наиболее предпочтительные варианты составляют мно­жество A*, определяемое функцией Нансона:

В модификации процедуры Нансона из рассмотрения исклю­чается не единственный вариант, имеющий минимальную оцен­ку Борда, а сразу несколько вариантов, оценки которых меньше среднего по всем вариантам значения функции Борда

Процедура Кумбса (1950) аналогична процедуре Нансона, но в ней последовательно исключаются из рассмотрения варианты, которые считаются худшими по большинству голосов.

Пример 21.6. Пусть выполняются условия примера 21.1. Распределение голосов избирателей при упорядочении кандида­тов А, В и С имеет вид:

Значения функции Борда для каждого кандидата:

Кандидат С, имеющий наименьшее зна­чение функции Борда, исключается. Индивидуальные предпо­чтения избирателей на оставшемся множестве кандидатов = выглядят следующим образом:

Вычислим новые значения функции Борда для каждого оставшегося кандидата Ал В, полагая, что в каждом индивиду­альном упорядочении первому кандидату присваивается 1 бал Л, а второму кандидату — 0 баллов: /

Кандидат В, имеющий наименьшее значение функции Борда, исключается. Новое множество кандидатов А₂ состоит из един­ственного кандидата А, который и является лучшим. Упорядо­чение кандидатов в соответствии с функцией Нансона fn имеет вид и отличается от результата, полученного с помо­

щью функции Борда. ■

21.8. Процедуры Коупленда и Фишберна

Рассмотрим ряд процедур коллективного выбора, основан­ных на использовании неранжирующей процедуры учета мне­ний избирателей. В основе процедуры Коупленда (1950) лежит идея учета различия индивидуальных предпочтений участни­ков, аналогичная идее модифицированной процедуры Борда. Однако здесь различие определяется не количеством голосов, поданных за более и менее предпочтительные варианты, а чис­лом самих более или менее предпочтительных вариантов.

1. Каждый участник сравнивает все варианты по­парно друг с другом независимо от сравнений других пар вари­антов.

2. Для каждого варианта Ai подсчитывается число вариантов Aj, уступающих варианту Ai, и число n(Aj, Ai) вари­анта Aj, превосходящих вариант Ai по простому большинству голосов.

3. Для каждого варианта Ai вычисляется значение функции Коупленда

равное разности числа вариантов Aj, которые уступают вариан­ту Ai, и числа вариантов Aj, которые превосходят вариант Ai по простому большинству голосов.

4. Упорядочение вариантов строится по убыванию значения функции Коупленда . Лучший вариант А* определяется максимальным значением функции Коупленда

Заметим, что получающееся итоговое упорядочение может быть как строгим, так и нестрогим.

Процедура Фишберна (1970) объединяет идеи процедур Бор­да, Кондорсе и Коупленда, определяя предпочтительность каж­дого варианта по числу вариантов, которые данный вариант пре­восходит по простому большинству голосов.

4. Совпадает с шагом 1 процедуры Коупленда.

5. Для каждого варианта Ai вычисляется значение функции Фишберна

равное числу вариантов Aj, которые уступают варианту Ai по простому большинству голосов.

6. Упорядочение вариантов строится по убыванию значения функции Фишберна Лучший вариант Л* определяется максимальным значением функции Фишберна

Пример 21.7. Пусть выполняются условия примера 21.1 и голоса избирателей при попарном сравнении кандидатов А, В и С распределились так:

Вычислим значения функции Коупленда для каждого из кандидатов А, В и С. Кандидат А превосходит по простому большинству голосов (первая колонка) только одного кандидата В и уступает только одному кандидату С. Поэтому 1 —

— 1 = 0. Кандидат В превосходит одного кандидата С и уступа­ет одному кандидату А, поэтому =1 — 1 = 0. Аналогично, для кандидата С имеем =1 — 1 = 0. Таким образом, все три кандидата А, В и С эквивалентны. Лучшего кандидата по функции Коупленда нет.

Вычислим значение функции Фишберна fp для каждого из кандидатов А, В и С. Кандидат А превосходит по простому большинству голосов только одного кандидата jB, и = 1.

Аналогично, = 1 и =1. Итак, все три кандидата А,

В и С эквивалентны. Лучшего кандидата по функции Фишбер­на нет. ■