2.4. Минимизация недоопределённой фал
ФАЛ называется недоопределённой (частично определённой), если часть её значений yi не задана (см. п. 1.5). При минимизации такой ФАЛ необязательным значениям, которые обычно обозначают *, можно произвольно присваивать единичные или нулевые значения из условия получения на карте Вейча Карно минимального числа максимально больших областей.
Рассмотрим пример минимизации ФАЛ, заданной таблицей истинности:
Х3 |
Х2 |
Х1 |
Х0 |
Y |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
* |
0 |
0 |
1 |
0 |
* |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
* |
0 |
1 |
0 |
1 |
* |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
* |
1 |
0 |
0 |
0 |
* |
1 |
0 |
0 |
1 |
* |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
* |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
* |
1 |
1 |
1 |
0 |
* |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Составим карту Вейча – Карно.
Как видно из карты, ни единичные, ни нулевые значения ФАЛ невозможно объединить друг с другом. Поэтому ДНФ имеет вид
,
(2.5)
а КНФ
.
(2.6)
Предположим, что для доопределения ФАЛ принято решение присвоить всем необязательным значениям функции единичные значения. В результате получим следующий вид карты, на которой выделены области единичных значений, и соответствующую МДНФ.
|
|
Очевидно, что такое решение привело к отрицательному результату. Полученная МДНФ оказалась даже сложнее исходной ДНФ (2.5). Поэтому проведём новое доопределение ФАЛ, добавив единичные значения функции только для получения на карте Вейча Карно минимального числа максимально больших областей.
|
|
Поскольку выделить область из восьми клеток не удалось, выбрано решение о выделении двух областей из четырёх клеток каждая. Полученное выражение МДНФ проще исходной ДНФ и требует для своей реализации два инвертора, два элемента 2И и один элемент 2ИЛИ.
Теперь проведём доопределение ФАЛ, добавив нулевые значения функции только для получения на карте Вейча Карно минимального числа максимально больших областей.
|
|
Аналогично выделяем две области по четыре клетки в каждой, поскольку выделить область из восьми клеток невозможно. Полученное выражение для МДНФ, инверсной заданной, также содержит логическую сумму двух логических произведений. Для реализации потребуется три инвертора (два для переменных и один для функции), два элемента 2И и один 2ИЛИ.
Для дальнейших преобразований воспользуемся теоремой Де-Моргана:
.
В результате получилось выражение существенно проще, чем исходная КНФ (2.6), для реализации которого потребуется два инвертора, два элемента 2ИЛИ и один элемент 2И. Следует также отметить, что в варианте МКНФ не нужна переменная Х2.
Окончательный выбор варианта технической реализации ФАЛ будет зависеть от типа заданных (или имеющихся в наличии) ЛЭ.