1. Проценты, виды процентных ставок. Наращение по простой процентной ставке. Начисление сложных процентов. M-кратное начисление процентов. Номинальная и эффективная ставки.

Проценты – доход, полученный от выдачи денег в долг, в любой форме (ссуда, кредит, покупка векселя). Процент – разница между конечной суммой долга и начальной: I = S – P.

Процентная ставка – это отношение дохода, полученного за единицу времени, к сумме долга.

Классификация процентных ставок:

1) простые – база для начисления процентов постоянна;

сложные – база меняется, т.е. процент присоединяется к сумме долга

2)ставки наращения; учетные ставки

3)постоянные – фиксированные; переменные - плавающие

4)дискретные – проценты начисляются за конечный промежуток времени;

непрерывные – проценты начисляются за бесконечно малый промежуток времени

Простые проценты обычно используются, когда срок ссуды мал (меньше года). Простая ставка наращения: i = , I₁ – проценты за год; S = P*(1+n*i), (1+n*i)- множитель наращения. Если процентная ставка меняется, тогда: S = P*(1+ Σn_ti_t).

Сложные проценты обычно используют, когда срок ссуды большой – больше года. S = P*(1+i)ⁿ, (1+i)ⁿ – множитель наращения.

Если n – дробная:

1) S = P*(1+i)ⁿ – не обращаем внимания, что дробная, сложные проценты за весь период

2) S = P*(1+i)^[n]*( 1+{n}i) – смежный способ, за целое число лет сложные проценты, за дробное – простые ([n]- целая часть числа, {n}-дробная часть).

При малых сроках выгодна простая процентная ставка, при больших сроках – сложная.

Начисление процентов по сложной ставке несколько раз в год – m-кратное начисление процентов.

i^(m) – номинальная ставка при начислении процентов m раз в год по ставке , формула наращения: S = P*(1+ )^mn .

Эффективная (реальная) ставка – измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год: i = (1+ )^m – 1.

2. Непрерывное начисление процентов.

Непрерывное наращение – наращение за бесконечно малые отрезки времени. Применяют особый вид процентной ставки – силу роста: i^(m) = δ, S = P*e^δn.

Переменная сила роста: S = P*e^∫δ(t)dt.

Непрерывные проценты применяются в более сложных расчетах, связанных с оценкой инвестиционных проектов и финансовых инструментов.

3. Дисконтирование. Математическое дисконтирование и банковский учет.

Дисконтирование – это определение начальной суммы долга по конечной сумме долга.

1). математическое дисконтирование:

• S = P*(1+ni) => P= => S = – математическое дисконтирование по простой процентной ставке

• S = P (1+i)ⁿ => P = S*(1+i)^-n

• S = P*e^δn => P = S* e^-δn

2). Банковский учет:

P = S – ndS = S * (1-nd) – формула дисконта по простой учетной ставке, d-годовая учетная ставка.

P_n = S*(1-nd)ⁿ – дисконтирование по сложной учетной ставке.

4. Потоки платежей и их основные параметры. Ренты, классификация рент.

Потоком платежей называется последовательность денежных сумм, выплачиваемых в определенный момент времени. R_k – сумма выплат, t_k – момент платежа

Характеристики:

1). Наращенная величина платежей: S = ΣR_k * (1+i)^{tn – tk}

2). Современная величина потока платежей: A = ΣR_k*(1+i)^-tk, S = A*(1+i)^tn

Рента – поток платежей, удовлетворяющий двум условиям:

1) все платежи положительные

2) платежи периодические

Классификация рент:

• по количеству платежей в течении года

- годовые (P=1)

- P-срочные (P N)

- редкие (P=1/r, r N)

- непрерывные (P стремится к бесконечности)

• по количеству начисленных процентов

- m = 1

- m > 1

- m = 1/r

- непрерывное, m стремится к бесконечности

• по размерам платежей

- постоянная

- переменная

• по вероятности выплат

- верная (обязательно будет выплачена)

- условная (при выполнении условия), используются в страховании

• по срокам

- ограниченные

-вечные

• по начальному моменту выплат

- немедленные

- отложенные – выплаты начинаются через определенный период

• по моменту выплат в течении периода

- постнумерандо (обычная)

- пренумерандо (упреждающая)

- ренты с выплатой в середине периода.