Абсолютные статистические величины

Абсолютные статистические величины показывают объем, размеры, уровни различных социально-экономических явлений и процессов. Они отражают уровни в физических мерах объема, веса и т.п. В общем, абсолютные статистические величины – это именованные числа. Они всегда имеют определенную размерность и единицы измерения. Последние определяют сущность абсолютной величины.

Виды абсолютных величин

• Индивидуальные – отражают размеры количественных признаков у отдельных единиц изучаемой совокупности.

• Общие – выражают размеры, величину количественных признаков у всей изучаемой совокупности в целом.

Абсолютные величины отражают наличие тех или иных ресурсов, это основа материального учета. Они наиболее объективно отражают развитие экономики.

Абсолютные величины являются основой для расчета разных относительных статистических показателей.

11) Относительные статистические величины и формы их выражения

Относительные статистические величины

Относительные статистические величины выражают количественные соотношения между явлениями общественной жизни, они получаются в результате деления одной абсолютной величины на другую.

Знаменатель (основание сравнения, база) – это величина, с которой производится сравнение.

Сравниваемая (отчетная, текущая) величина – это величина, которая сравнивается.

Относительная величина показывает, во сколько раз сравниваемая величина больше или меньше базисной или какую долю первая составляет по отношению ко второй. В ряде случае относительная величина показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой.

Важное свойство – относительная величина абстрагирует различия абсолютных величин и позволяет сравнивать такие явления, абсолютные размеры которых непосредственно несопоставимы.

Форма выражения относительных величин

В результате сопоставления одноименных абсолютных величин получают неименованные относительные величины. Они могут выражаться в виде долей, кратных соотношений, процентных соотношений, в виде промилле и т.д.

Результатом сопоставления разноименных величин являются именованные относительные величины. Их название образуется сочетанием сравниваемой и базисной абсолютных величин.

Выбор формы зависит от характера аналитической задачи, которая состоит в том, чтобы с наибольшей ясностью выразить соотношение.

12. Виды относительных величин

Виды относительных величин

Все применяемые на практике относительные статистические величины подразделяются на следующие виды.

Относительная величина динамики

Достигнутый показатель / базисный показатель.

Относительная величина планового задания

Плановый показатель / базисный показатель.

Относительная величина выполнения плана

Достигнутый показатель / плановый показатель.

Относительная величина структуры

Отношение частей и целого.

Относительная величина координации

Соотношение частей целого между собой.

Относительная величина интенсивности

Характеризует распределение явления в определенной среде (насыщенность каким-либо явлением). Это всегда соотношение разноименных величин.

Относительная величина уровня социально-экономического явления

Характеризует размеры производства различных видов продукции на душу населения.

Относительная величина сравнения

Представляет собой отношение одноименных величин, относящихся к различным объектам.

13) Понятие о средних величинах и их роль в соц-эконом анализе. Средние степенные: простые и взвешенные. Обоснование вида степенной взвешенной

Наиболее распространенной формой статистических показателей, ис-

пользуемой в социально – экономических явлениях, является средняя величина,

представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака

в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Сущность средней состоит в том, что в ней взаимопогашаются отклоне-

ния значений признака у отдельных единиц совокупности, обусловленные дей-

ствием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием

факторов основных.

Определить среднюю во многих случаях можно через исходное соот-

ношение средней (ИСС) и ее логическую формулу.

Суммарное значение или объем осредняемого

признака

ИСС=

Число единиц или объем совокупности

В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения

средней может потребоваться одна из следующих форм средней величины:

1. средняя арифметическая ;

2. средняя гармоническая;

3. средняя геометрическая;

4. средняя квадратическая, кубическая и т. д.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя

арифметическая, которая как и все средние, в зависимости от характера

имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

,

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака;

m – показатель степени средней;

n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид

,

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

14) Расчет средней арифметической в интервальном ряду.

Вариационные ряды могут быть и интервальными. В этом случае для расчета средней полезно вспомнить, что арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными единицами совокупности общую величину признака, в действительности варьирующую у каждой из них.

Исходя из этого для расчета средней арифметической по интервальному вариационному ряду надо в каждом интервале определить серединное значение [X’], после чего произвести взвешивание обычным порядком, т.е. [X’f]. Среднее значение интервала находится как полусумма нижней границы данного интервала и нижней границы следующего интервала.

Если имеются интервалы с так называемыми открытыми границами, то для расчета средней условно определяют неизвестные границы. Обычно в этих случаях берут значение последующего интервала для первого интервала и предыдущего – для последнего.

После того как найдены средние значения интервалов, расчет средней арифметической делают так же, как и в дискретном ряду: варианты (средние значения интервалов) умножаются на частоты (веса), и сумму произведений делят на сумму частот (весов).

Частоты при расчете средних арифметических могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными величинами – частостями (W).

15) Основные математические свойства средней арифметической. Расчет средней арифметической способом условного нуля

Основные свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится.

Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.

2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то .

5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

16) Структурные средние, их значение в статистическом анализе и способы расчета.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

где XMe – нижняя граница медианного интервала;

hMe – его величина;

(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);

SMe-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

mMe – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

где ХMo – нижнее значение модального интервала;

mMo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);

mMo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;

mMo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;

h – величина интервала изменения признака в группах.

17) Понятие о вариации признака. Показатели вариации и способы их расчета

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.

Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Средняя величина — это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность.

В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность.

Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации,

среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклоне-

ние.

Размах вариации – показатель, определяющий насколько велико разли-

чие между единицами совокупности, имеющими наибольшее и наименьшее

значение признака. Зависимость для его расчета имеет вид

Среднее линейное отклонение - показатель, отражающий типичный

размер признака. Расчетная зависимость для его определения имеет вид

а) простое среднее линейное отклонение для не сгруппированных

данных

где n – число наблюдений признака.

б) взвешенное среднее линейное отклонение для интервального ва-

риационного ряда

Дисперсия - средняя величина квадратов отклонений индивидуальных

значений признака от их средней величины.

Рабочие зависимости для расчета дисперсии имеют вид:

а) простая дисперсия для не сгруппированных данных

б) взвешенная дисперсия для интервального вариационного ряда

Среднеквадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии.

а) Простое среднеквадратическое отклонение для не сгруппирован-

ных данных

б) Взвешенное среднеквадратическое отклонение для интервального

вариационного ряда

Среднеквадратическое отклонение выражается в тех же единицах изме-

рения, что и значение признака.

Относительные показатели вариации

Эти показатели используются для сравнения колеблемости различных

признаков в одной и той же совокупности, либо при сравнении колеблемости

одного и того же признака в разных совокупностях. Базой структуры этих пока-

зателей является средняя арифметическая.

К относительным показателям вариации относятся

Последний показатель получил наибольшее распространение в практи-

ческих расчетах.

18) Расчет дисперсии методом моментов

Для расч дисп по способу моментов прим 1 и 2 св-во дисп. (формулы=>) Т.е. индивид значение пр-ка уменьш на некотор пост-ое число, затем уменьш-ые вар-ты делят на некотор пост-ое число. Преобразованные вар-ы возводят в квадр и из получ-ых квадратов расчит среднюю, кот называют фор-ой момента второго порядка.

Для расчета дисперсии необход квадрат числа, на кот делили каждую варианту умнож на разность м/у моментом 2-го порядка и квадрат момента первого порядка.

Дисп. имеет ряд мат св-в: 1.Е. индивид знач пр-ка уменьш или увел на некотор пост-ое число, то дисп не измен. 2.Е. индивид знач пр-ка раздел или умнож на некотор пост число. То дисп соотв умен или увел в квадрате этого числа.

19) Основные математические свойства дисперсии. Расчет дисперсии методом условного нуля

Свойства дисперсии.

1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.

2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.

3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз к соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - в к раз.

4. Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной: . Если А равна нулю, то приходим к следующему равенству: , т.е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.

Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.

20) расчет дисперсии альтернативного признака

Альтернативным наз пр-к , кот встречается в 2-х вариантах при этом наличие одного из них исключает наличие другого. Вар альт пр-ка у ед-ц совокуп-ти, кот им облад-т колличественно проявляется в значении 1 . У ед-ц совок-ти, кот им не обладают в значении 0. Доля ед-ц обладающих пр-ом обозн-ся ч/з р, не облад пр-ом ч/з q, p+q=1.

σ²=∑|x-x_ср|f/∑f; x_cp=∑xf/∑f=(1p+0q)/∑p+q=p. Средняя альт-го пр-ка всегда = его доле

Дисперсия альт пр-ка = произведению доли на дополнение доли к единице.

21) Меры вариации для сгруппированных данных. Виды дисперсии и метода их сложения. Эмпирическое корреляционное отношение и эмпирический коэффициент детерминации, их интерпретация

В статистическом исследовании очень часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам совокупности, а также и между группами. Следовательно, помимо общей средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние величины по отдельным группам.

Различают три вида дисперсий:

общая;

средняя внутригрупповая;

межгрупповая.

Общая дисперсия ( ) характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле

где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

Средняя внутригрупповая дисперсия свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам ( ), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия

где ni - число единиц в группе

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки. Эта дисперсия рассчитывается по формуле

где - средняя величина по отдельной группе.

Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:

Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону (правилу), общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов. Благодаря правилу сложения дисперсий можно определить, какая часть общей дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.