Составим экономико-математическую модель задачи
Обозначим— объемы продуктов (кг) в рационе. Тогда необходимо определить вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
(2.6.1)
и обеспечивающий минимум целевой функции:
(2.6.2).
Решение. Приведем систему ограничений (6.1) к системе неравенств смысла « », умножив обе части неравенств на (—1).
.
Переходим к системе уравнений:
За
базис выбираем систему векторов
,
так
как эти векторы единичные и линейно
независимые. Соответствующие единичным
векторам переменные
являются
базисными. Полагая, что свободные
переменные
=
=
=0,
получим первый опорный план, который
заносим в симплексную таблицу 2.6.2.
=(0, 0, 0, -60, -50, -12), F( )=0.
План
I в симплексной таблице является
псевдопланом, поэтому определяем ведущие
строку и столбец. Среди отрицательных
значений базисных переменных выбираем
наибольшее по абсолютной величине
значение: |-60|>|-50|, |-12|. Следовательно,
строка 1 симплексной таблицы является
ведущей, а переменную
следует вывести из базиса. В строку
заносим
следующие величины:
;
;
.
Минимальное значение 9 соответствует 3-му столбцу, т.е. переменную необходимо ввести в базис. На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный —4.
Далее выполняем преобразование симплексной таблицы методом Жордана — Гаусса и заполняем план II.
Третий опорный план является оптимальным, так как в индексной строке все коэффициенты 0, то условие оптимальности выполняется, а все значения базисных переменных — положительные числа:
=(0; 8; 9; 0; 0; 47), F( )=186.
Таблица 2.6.2
План |
Базисная переменная |
Значения базисной переменной |
|
|
|
|
|
|
I |
|
-60 |
-1 |
-3 |
-4 |
1 |
0 |
0 |
|
-50 |
-2 |
-4 |
-2 |
0 |
1 |
0 |
|
|
-12 |
-1 |
-4 |
-3 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
-9 |
-12 |
-10 |
0 |
0 |
0 |
|
|
- |
9 |
4 |
2.5 |
- |
- |
- |
II |
|
15 |
0.25 |
0.75 |
1 |
-0.25 |
0 |
0 |
|
-20 |
-1.5 |
-2.5 |
0 |
-0.5 |
1 |
0 |
|
|
33 |
-0.25 |
-1.75 |
0 |
-0.75 |
0 |
1 |
|
|
|
150 |
-6.5 |
-4.5 |
0 |
-2.5 |
0 |
0 |
|
|
- |
13/3 |
1.8 |
- |
5 |
- |
- |
III |
|
9 |
-0.7 |
0 |
1 |
-0.4 |
0.3 |
0 |
|
8 |
0.6 |
1 |
0 |
0.2 |
-0.4 |
0 |
|
|
47 |
0.8 |
0 |
0 |
-0.4 |
-0.7 |
1 |
|
|
|
186 |
-3.8 |
0 |
0 |
-1.6 |
-1.8 |
0 |
Пример 2. Содержание и постановка задачи анализа коммерческой деятельности предприятия изложены в п. 2.2.1, затем в разделе п. 2.4.1 (пример 2) проведено решение геометрическим методом, а теперь решим ее двойственным симплексным методом,
поскольку ограничения в модели задачи представлены в двух вариантах: и .
Решение. Приведем систему ограничений задачи к системе неравенств вида :
.
Затем переходим к системе уравнений введением дополнительных переменных:
.
Полагая,
что свободные переменные
,
получим первый опорный план, который
запишем в симплексную таблицу 2.6.3, причем
=(0; 0; 3; 4; 1,5; 2; -0,25; -0,5).
Поскольку
в индексной строке коэффициенты
,
а среди значений столбца свободных
членов имеются отрицательные числа, то
план является не оптимальным, или
псевдопланом.
Затем определяем ведущую строку по максимальной абсолютной величине отрицательных чисел столбца свободных членов: |-0,5| >|-0,25|, следовательно, выводим из базиса.
Для определения ведущего столбца коэффициенты индексной строки делим на соответствующие только отрицательные коэффициенты ведущей строки, результаты деления заносим в строку , из которой выбираем минимальный 2, что соответствует переменной , которую следует ввести в базис вместо . На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (—1). Далее выполняем преобразование симплексной таблицы методом Жордана - Гаусса и заполним план II таблицы 2.6.3.
Третий план является оптимальным, поскольку все значения базисных переменных есть положительные числа, и в индексной строке условие оптимальности выполняется:
=(0,5;
0,25; 2,375; 3,125; 2; 1,75; 0; 0) ,
=1,75.
Такой же ответ получен в решении этой задачи в примере 2 раздела 2.4.1 геометрическим методом.
Таблица 2.6.3
План |
Базисная переменная |
Значения базисной переменной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
3 |
0.5 |
1 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
4 |
1 |
0.5 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
|
|
1.5 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
1.5 |
|
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
2 |
|
|
-0.25 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0.25 |
|
|
-0.5 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
- |
|
|
|
0 |
-2 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
II |
|
2,75 |
0 |
1,5 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
3,5 |
0 |
1,5 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
-1 |
|
|
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
|
|
|
-0,25 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
|
|
|
0,5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-2 |
|
|
|
|
- |
+3 |
- |
- |
- |
- |
- |
2 |
|
III |
|
2,375 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
1,5 |
0 |
|
|
3,125 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
1,5 |
1 |
|
|
|
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
-1 |
|
|
|
1,75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
1 |
0 |
|
|
|
0,25 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
|
|
0,5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
|
|
|
|
1,75 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-3 |
-2 |
|