Контрольные вопросы

1. Как составить двойственную задачу?

2. Каковы теоремы двойственности?

3. Как интерпретировать экономический смысл двойственной задачи?

4. Как определить решение двойственной задачи из решения прямой?

5. Какова экономическая интерпретация двойственных оценок?

6. Как определяются интервалы устойчивости двойственных оценок?

Задачи

1. Используя задачи предыдущего раздела 2.4 (№ 1—7), необходимо: к прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплексным методом, составить двойственную задачу линейного программирования; установить сопряженные пары прямой и двойственной задач; согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи; рассчитать интервалы устойчивости двойственных оценок и, используя коэффициенты структурных сдвигов в оптимальной симплексной таблице, выполнить расчеты вариантов для изменившейся

хозяйственной ситуации в соответствии с таблицей.

Номер задачи	Коммерческая ситуация
	Ввести в продажу к-ую товарную группу	Увеличить объём i –го ресурса	Сократить объём i –го ресурса
1	=5	=20	=10
2	=90	=200	=300
3	=50	=100	=10
4	=20	=2	=50
5	=60	=300	=100
6	=30	=6	=1
7	=20	=40	=100

2.6. Двойственный симплексный метод

Двойственный симплексный метод основан на теории двойственности и используется для решения задач линейного программирования, свободные члены которых могут принимать любые значения, а система ограничений задана неравенствами смысла « », « » или равенством «=».

В двойственном симплексном методе оптимальный план получается в результате движения по псевдопланам.

Псевдопланом называется план, в котором условия оптимальности удовлетворяются, а среди значений базисных переменных имеются отрицательные числа.

Алгоритм двойственного симплексного метода включает следующие этапы.

1. Составление псевдоплана. Систему ограничений исходной задачи требуется привести к системе неравенств смысла « ». Для этого обе части неравенств смысла « » необходимо умножить на (—1). Затем от системы неравенств смысла « » переходят к системе уравнений, вводя неотрицательные дополнительные переменные, которые являются базисными переменными. Первый опорный план заносят в симплексную таблицу.

2. Проверка плана на оптимальность. Если в полученном опорном плане не выполняется условие оптимальности, то решаем задачу симплексным методом. При этом столбец имеет значения по тем строкам, в которых значения в базисных переменных и коэффициенты ведущего столбца содержат одинаковые знаки (положительные или отрицательные). В случае разноименных знаков и значения не определяют.

Если в опорном плане условия оптимальности удовлетворяются и все значения базисных переменных – положительные числа, то получен оптимальный план. Наличие отрицательных значений в столбце «Значения базисных переменных» свидетельствует о получении псевдоплана.

3. Выбор ведущих строки и столбца. Среди отрицательных значений базисных переменных выбираются наибольшие по абсолютной величине. Строка, соответствующая этому значению, является ведущей.

Симплексную таблицу дополняют строкой , в которую заносят взятые по абсолютной величине результаты деления коэффициентов индексной строки на отрицательные коэффициенты ведущей строки. Минимальные значения определяют ведущий столбец и переменную, вводимую в базис. На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент.

4. Расчет нового опорного плана. Новый план получаем в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана - Гаусса. Далее переходим к этапу 2.

Пример 1. Известно, что содержание трех питательных веществ А, В и С в рационе должно быть не менее 60, 50 и 12 единиц соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида продуктов. Содержание единиц питательных веществ в одном килограмме каждого из видов продукта приведено в таблице 2.6.1.

Определите дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах.

Таблица 2.6.1

Питательные вещества	Количество единиц питательных веществ в 1 кг продукта вида
	I	II	III
А	1	3	4
В	2	4	2
С	1	4	3
Цена 1 кг продукта	9	12	10