2.5. Двойственные задачи линейного программирования

Далее вводится новое понятие теории линейного программирования — понятие двойственности. Будучи исключительно важным в теоретическом отношении, оно представляет и большой практический интерес. На основе теории двойственности разработан алгоритм решения задач линейного программирования - двойственный симплексный метод и эффективные методы анализа моделей на чувствительность. Любой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу, сформулированную по стандартным правилам таким образом, что решение любой из них является и решением другой задачи. Такие задачи называются взаимодвойственными.

2.5.1. Построение двойственной задачи

Двойственная обратная задача — задача линейного программирования, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной, или прямой, задачи. В литературе по линейному программированию в большинстве случаев рассматриваются формулировки двойственной задачи, соответствующие различным формам прямой задачи, которые, в свою очередь, определяются типом ограничений, знаками переменных и направлением оптимизации (максимизация или минимизация).

Рассмотрим обобщенную формулировку двойственной задачи линейного программирования, которая применима к любой форме представления прямой задачи. В основу такой формулировки положен тот факт, что использование симплекс-метода требует приведения любой задачи линейного программирования к стандартной форме. Так как все методы вычислений, основанные на соотношениях двойственности, предполагают непосредственное использование симплекс-таблиц, формулировка двойственной задачи в соответствии со стандартной формой прямой задачи представляется достаточно логичной.

Прямая задача линейного программирования в стандартной форме записывается следующим образом: максимизировать

(2.5.1)

при ограничениях:

(2.5.2),

(2.5.3).

Чтобы сформулировать условия двойственной задачи, проведем симметричное структурное преобразование условий прямой задачи в соответствии со следующими правилами:

1) каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи;

2) каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи;

3) коэффициенты при некоторой переменной, фигурирующие в ограничениях прямой задачи, становятся коэффициентами левой части соответствующего ограничения двойственной задачи, а коэффициент, фигурирующий при той же переменной в выражении для целевой функции прямой задачи, становится постоянной правой части этого же ограничения двойственной задачи.

На примере задачи планирования товарооборота двойственная задача формулируется следующим образом:

определить оценку (неявную стоимость) единицы каждого вида ресурсов , чтобы при заданных объемах ресурсов , прибыли нормах расхода ресурсов минимизировать оценку всех ресурсов торгового предприятия, затраченных на организацию торгового процесса.

Запишем математическую модель двойственной задачи.

Определить вектор , который удовлетворяет ограничениям

(2.5.4),

(2.5.5)

и обеспечивает минимальное значение целевой функции

(2.5.6).

Ограничения (2.5.4) показывают, что стоимость всех ресурсов, затраченных на продажу единицы j-группы товаров, должна быть не меньше дохода, получаемого при реализации единицы j-группы товаров, а общая стоимость всех ресурсов должна быть

минимизирована.

В целом двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам.

1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче.

2. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов системы ограничений прямой задачи путем транспонирования.

3. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи.

4. Свободными членами системы ограничений двойственной задачи являются коэффициенты функции цели прямой задачи.

5. Двойственная задача решается на минимум, если целевая функция прямой задачи задается на максимум, и наоборот.

6. Коэффициентами функции цели двойственной задачи служат свободные члены системы ограничений прямой задачи.

7. Если переменная прямой задачи , то j-е условие системы ограничений двойственной задачи является неравенством, если — любое число, то j-е условие двойственной задачи представляет собой уравнение.

8. Если i-е соотношение прямой задачи является неравенством, то соответствующая оценка i-го ресурса — переменная , если i-е соотношение представляет собой уравнение, то переменная двойственной задачи — любое число.

Решение прямой задачи дает оптимальные объемы в структуре товарооборота торгового предприятия, а решение двойственной — оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для реализации товаров.