
- •Оглавление
- •Глава I. Основные понятия математического моделирования социально-экономических систем 5
- •Глава 2. Методы и модели линейного программирования 15
- •Глава 3. Балансовые модели 120
- •Введение
- •Глава I. Основные понятия математического моделирования социально-экономических систем
- •1.1. Социально-экономические системы, методы их исследования и моделирования
- •1.2. Этапы экономико-математического моделирования
- •1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.
- •2. Построение математической модели.
- •3. Математический анализ модели.
- •4. Подготовка исходной информации.
- •5. Численное решение.
- •6. Анализ численных результатов и их применение.
- •1.3. Классификация экономико-математических методов и моделей
- •Глава 2. Методы и модели линейного программирования
- •2.1. Общая задача линейного программирования
- •Контрольные вопросы
- •2.2. Постановка задач коммерческой деятельности
- •2.2.1. Коммерческая деятельность предприятия
- •Построение экономико-математической модели задачи.
- •2.2.2. Планирование товарооборота
- •2.2.3. Производственная задача
- •2.2.4. Формирование рациональных смесей
- •Построение экономико-математической модели задачи.
- •2.2.5. Перевозка грузов
- •2.2.6. Задача о назначениях
- •2.2.7. Формирование торговой сети
- •Построение экономико-математической модели задачи.
- •2.2.8. Выбор портфеля ценных бумаг
- •Построение экономико-математической модели задачи.
- •2.2.9. Построение кольцевых маршрутов
- •Контрольные вопросы
- •2.3. Решение задач коммерческой деятельности предприятия с помощью программы ms Excel
- •2.4. Методы решения задач коммерческой деятельности предприятия
- •2.4.1. Геометрический метод решение задач
- •Pиc. 2 Определение экстремальных значений целевой функции
- •Контрольные вопросы
- •2.4.2. Алгебраический симплексный метод
- •2.4.3. Метод искусственного базиса
- •2.4.4. Метод Гомори. Целочисленное решение
- •Контрольные вопросы
- •2.5. Двойственные задачи линейного программирования
- •2.5.1. Построение двойственной задачи
- •2.5.2. Теоремы двойственности
- •2.5.3. Анализ устойчивости двойственных оценок
- •Контрольные вопросы
- •2.6. Двойственный симплексный метод
- •Составим экономико-математическую модель задачи
- •Контрольные вопросы
- •2.7. Метод потенциалов
- •Контрольные вопросы
- •2.8. Анализ устойчивости коммерческой деятельности предприятия
- •Глава 3. Балансовые модели
- •3.1. Балансовый метод. Принципиальная схема межпродуктового баланса
- •3.2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •3.3. Коэффициенты прямых и полных материальных затрат
- •3.4. Межотраслевые балансовые модели в анализе экономических показателей
- •3.5. Динамическая межотраслевая балансовая модель
- •Вопросы и задания
- •Рекомендуемая литература
2.4.4. Метод Гомори. Целочисленное решение
Значительная часть задач коммерческой деятельности требует целочисленного решения. К ним относятся задачи, у которых переменные величины означают количество единиц неделимой продукции, например распределение товаров между коммерческими
предприятиями, раскрой материалов, число станков при загрузке оборудования, распределение транспортных средств по рейсам, распределение коммерческих заказов между оптовыми предприятиями, продажа автомобилей, распределение самолетов по авиалиниям, количество вычислительных машин в управляющем комплексе и др. Линейные задачи, решение которых должно быть получено в целых числах, называют задачами целочисленного программирования.
Задача целочисленного программирования формулируется так же, как и задача линейного программирования, но включает дополнительное требование, состоящее в том, что значения переменных должны быть целыми неотрицательными числами, например =30 станков, =16 самолетов, =7 человек.
Методы целочисленной оптимизации можно разделить на три основные группы: а) методы отсечения; б) комбинированные методы; в) приближенные методы. Рассмотрим один из методов отсечения — метод Гомори.
Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без условия целочисленности. Если полученный план целочисленный, то задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее
следующими свойствами:
а) оно должно быть линейным;
б) должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;
в) не должно отсекать ни одного целочисленного плана.
Дополнительное ограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильным отсечением.
Алгоритм Гомори, основанный на симплексном методе, имеет простой способ построения правильного отсечения и содержит следующие этапы.
1. Задача линейного программирования решается без учета условия целочисленности симплексным или двойственным симплексным методом. Если все элементы оптимального плана целые числа, то решение заканчивается для задачи целочисленного программирования.
2. Если среди элементов оптимального решения есть нецелые числа, то необходимо выбрать элемент с наибольшей дробной частью и составить дополнительное ограничение (сечение), которое отсекает нецелочисленные решения.
Дополнительное
ограничение дается в том случае, если
значение базисной переменной в оптимальном
плане
—
дробное число. Тогда некоторые элементы
в
i-й
строке симплексной таблицы также дробные
числа. Обозначим [
]
и
[
]
целые части чисел
и
,
т.е.
наибольшие целые числа, не превышающие
и
.
Величины
дробных частей
и
определяются
как разности следующим образом:
= -[ ], = -[ ] и являются положительными числами.
Тогда
неравенство
,
сформированное по i-й
строке симплексной таблицы, обладает
всеми свойствами правильного отсечения.
3. Неравенство преобразуется в уравнение путем введения дополнительной неотрицательной переменной и включается в оптимальную симплексную таблицу.
4. Полученная расширенная задача решается двойным симплексным методом. Если новый оптимальный план будет целочисленным, то задача решена. В противном случае необходимо вернуться к п. 2 алгоритма.
Если в процессе решения в симплексной таблице появится уравнение с нецелым свободным членом и целыми коэффициентами , то данная задача не имеет целочисленного оптимального решения.
Пример. Маркетинговые исследования указали на необходимость освоения выпуска новой продукции. Поэтому на предприятии решено установить новое технологическое оборудование на освободившейся площади 10 кв.м. На приобретение оборудования двух видов выделено 6 млн. руб. Комплект первого вида оборудования стоимостью 1 млн. руб. устанавливается на площади 5 кв.м и позволяет увеличить доход предприятия на 8 млн. руб. Комплект второго вида оборудования занимает площадь 2 кв.м, стоит 1 млн. руб. и обеспечивает увеличение дохода предприятия на 5 млн. руб.
Определите, какое количество технологического оборудования каждого вида следует закупить, чтобы обеспечить максимальное увеличение дохода предприятия от продажи выпускаемой продукции.
Решение. Обозначим через , количество комплектов технологического оборудования соответственно первого и второго видов, через F(Х) — доход предприятия от продажи продукции.
Тогда математическая модель задачи имеет вид:
,
при ограничениях:
где , - целые числа.
Приведем задачу к каноническому виду, для чего введем дополнительные неотрицательные переменные , и решим ее симплексным методом, а результаты запишем в таблицу 2.4.7.
Таблица 2.4.7
Базисные переменные |
Значения базисных переменных
|
|
|
|
|
|
|
20 |
5 |
2 |
1 |
0 |
4 |
|
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
6 |
|
0 |
-8 |
-5 |
0 |
0 |
max |
|
4 |
1 |
2/5 |
1/5 |
0 |
10 |
|
2 |
0 |
3/5 |
-1/5 |
1 |
10/3 |
|
32 |
0 |
-9/5 |
8/5 |
0 |
max |
|
8/3 |
1 |
0 |
1/3 |
-2/3 |
|
|
10/3 |
0 |
1 |
-1/3 |
5/3 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
3 |
|
В
таблице 2.4.7 на третьей итерации получен
оптимальный план
,
в котором
=8/3
и
=10/3
-
дробные числа.
По первому уравнению с переменной , получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью (2/3), составляем дополнительное ограничение:
=
-[
]=8/3-2=2/3;
=
-[
]=1-1=0;
=
-[
]=0-0=0;
=
-[
]=1/3-0=1/3;
=
-[
]=-2/3+1=1/3.
Дополнительное ограничение имеет вид:
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
,
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу 2.4.7; тогда получим продолжение таблицу 2.4.8.
Таблица 2.4.8
Базисные переменные |
Значения базисных переменных
|
|
|
|
|
|
|
8/3 |
1 |
0 |
1/3 |
-2/3 |
0 |
|
10/3 |
0 |
1 |
-1/3 |
5/3 |
0 |
|
-2/3 |
0 |
0 |
-1/3 |
-1/3 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
|
max |
- |
- |
3 |
9 |
- |
|
2 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
2 |
-1 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
-3 |
|
36 |
0 |
0 |
0 |
2 |
3 |
Применяя
алгоритм двойственного симплексного
метода, проводим одну итерацию, в
результате которой получаем оптимальное
целочисленное решение: X=(2,
4, 2);
=36
млн руб.
Таким образом, предприятию необходимо установить два комплекта оборудования первого вида и четыре комплекта второго вида. Это позволит максимально увеличить доход предприятия.
В задачах 1 и 2 найти оптимальные решения методом Гомори.
1)
2)
;
.