2.2.8. Выбор портфеля ценных бумаг
При инвестировании денежных средств в ценные бумаги: акции, облигации, валюты, вексели, возникают задачи оптимизации. Обычно денежные средства вкладывают в несколько видов ценных бумаг, которые образуют портфель активов.
Доходность портфеля характеризуется средневзвешенной доходностью его составляющих, которая для портфеля из двух активов рассчитывается следующим образом:
,
где Д — общая доходность портфеля;
-
удельный вес актива А;
-
доходность актива А;
-
удельный
вес актива В.
-
доходность
актива В.
Будущая стоимость ценных бумаг (в отличие от текущей) не определена, зависит от большого количества различных факторов. Количественная мера этой неопределенности называется риском. При этом методы линейного программирования можно использовать для контроля систематического риска при формировании портфеля активов.
Допустим,
имеется множество активов
(
),
а
ожидаемые доходы для них соответственно
равны
.
Доли каждого из этих активов в портфеле
соответственно равны
и являются переменными, которые могут
корректироваться. Риск портфеля R
определяется
как средневзвешенная величина рисков
активов
.
Цель процедуры оптимизации заключается в максимизации дохода по портфелю при заданном ограничении уровня риска портфеля.
Построение экономико-математической модели задачи.
Определим оптимальные пропорции (веса) каждого из активов, которые приведут к максимальному ожидаемому доходу при условии заданного максимального уровня риска. Эта задача может быть сформулирована следующим образом.
Ограничения:
первое ограничение связано с тем, что:
1) риск R портфеля не должен превышать ;
2) в каждый актив обязательно должны быть проведены положительные инвестиции;
3) все средства должны быть полностью инвестированы.
Таким образом, ограничения имеют следующий вид:
,
где
все активы могут иметь только
неотрицательные веса
;
причем
,
поскольку средства должны быть полностью
инвестированы.
Все ограничения линейны и представлены в виде равенств и неравенств. Целевая функция имеет вид:
.
Поскольку доход по каждому активу предопределен, то в целевой функции могут изменяться только веса.
2.2.9. Построение кольцевых маршрутов
Коммерческая
деятельность обычно связана с
командировками, поездками по городам
для заключения сделок. Расстояния между
любой парой множества из n
городов
известны и составляют
.
Если
прямого маршрута между городами i
и j
не существует, то допускают, что
.
Коммерсант, выезжая из какого-либо города, должен посетить все города, побывав в каждом из них один и только один раз, и вернуться в исходный город. Необходимо определить такую последовательность объезда городов, при которой длина маршрута
была бы наименьшей.
Экономико-математическая постановка этой задачи может быть представлена как задача целочисленного линейного программирования.
Переменные определим следующим образом:
=1,
если коммивояжер переезжает из города
i
в город j
;
в противном случае
=0.
Задача заключается в определении матрицы целых неотрицательных значений переменных , минимизирующих целевую функцию вида
,
при ограничениях:
1)
для въезда в город j
только один раз:
,
2)
для выезда из города i
только один раз:
,
В такой постановке задача коммивояжера представляет собой задачу целочисленного линейного программирования. Действительно, условия исключают в оптимальном решении значения =1 как не имеющие смысла, а ограничения требуют:
1) чтобы маршрут включал только один въезд в каждый город;
2) чтобы маршрут включал лишь один выезд из каждого города, а целевая функция включала длину маршрута коммивояжера;
3) чтобы маршрут образовывал контур, проходящий через все города.
Таким образом формируется экономный вариант маршрута в виде кольца.
Решение этой задачи строится, например, методом ветвей и границ целочисленного программирования.