Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами и их свойства
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа из которых составляется матрица называются элементами матрицы. Матрица состоящая из одной строки – строчная, из одного столбца – столбцовая матрица, если столб=строк= квадратная матрица, все элементы 0 – нулевая матрица. Диагональная матрица – квадратная матрица у которой отличной от 0 только элементы главной диагонали. Единичная матрица – матрица у кот.каждый элемента главной диагонали = 1. Симметричная М это квадратная М для которой аij=aij, симметрично вокруг главной диагонали. Трапециидная М. Треугольная М – частный случайтрапециидной М (квадратная матрица у которой по одну сторону от главной диагонали элементы равны 0). Единичная Е – все элементы = 1
Для того чтобы умножить М А на число с, нужно все элементы М умножить на число с. Св-ва с=1 сА=А, с=0 сА=0, с(кА)=(ск)А
Складывать можно М одинаковых размеров. Св-ва А+В=В+А; с(А+В)=сА+сВ ...
Определитель (детерминант) матрицы. Свойства определителя
Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем. Св-ва:
При замене строк столбцами величина определителя не меняется.
Если поменять 2 строки или 2 столбца определитель поменяет знак.
Определитель с двумя одинаковыми рядами равен 0
Величина определителя увеличивается в К раз если элементы какого либо его ряда увеличены в К раз
Величина определителя =0, если элементы какого либо его ряда =0
Определитель, у которого элементы двух строк или столбцов пропорциональны = 0
Определитель, у которого элементы какого либо ряда представлены суммой двух слагаемых, = сумме двух определителей.
Определитель = сумме произведений элементов какого либо ряда на их алгебраическое дополнение.
Величина определителя не изменится, если к элементам какого либо ряда + соотв элементы другого ряда умноженных на число К
Миноры и алгебраические дополнения
Минором Мijaij называется определитель, который получается путем вычеркивания строки с номером i и столбца с номером j
Алгебраическим дополнение Aij для элемента aij называетсяего Минор взятый со знаком (-1)i+j(на нечетных местах меняется знак на -)
Теорема замещения
Сумма произведений произвольных n чисел (с1,с2,с3,сn) на алгебраические дополнения какого либо ряда М порядка n, = определителю матрицы, которая получается из данных, заменой элементов указанного ряда на числа c1,c2,c3
Теорема аннулирования
Сумма произведения элементов одного из рядов определителя на алгебраическое дополнения элементов другого, параллельного ему ряда = 0
Некоторые методы вычисления определителей
Приведение определителя к треугольному виду. Состоит в таком его преобразовании, когда все элементы, лежащие по одну сторону главной диагонали, становятся нулями. Полученный определитель равен произведению элементов главной диагонали
По правилу треугольника
По правилу Саррюса
Умножения матриц. Свойства умножения
.
Операция
умножения двух матриц выполнима только
в том случае, если число столбцов в
первом сомножителе равно числу строк
во втором; в этом случае говорят, что
форма матриц согласована.
Св-ва АВ
ВА,
с(АВ)=(сА)В=А(сВ), …
Транспонирование матриц
М полученная из данных путем замены каждой ее строки столбцом того же номера, называю транспонированной. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы
Обратная матрица, необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы.Нахождение обратной матрицы
матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E. Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы
Теорема
1. Для существования обратной матрицы
необходимо и достаточно, чтобы матрица
была невырожденной (определитель
)
Теорема 2. Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица
Правило нахождения: 1) вычисляем определитель М А 2) Находим алгебраические дополнения3) Составляем матрицу из алгебр. Дополнений определителя матрицы4) транспонируем это матрицу
5) А-1=1/detА*Атм