Задача определения кратчайших расстояний методом потенциалов

1. Вершина, от которой требуется определить кратчайшие расстояния, называется начальной. Начальной вершине присваивается потенциал равный 0, т.е. Р_i=0.

2. По формуле (1) определяются потенциалы всех вершин, непосредственно связанных с ней:

Р_j = Р_i + l_ij , (1)

где i,j – текущие индексы соответственно исходной и непосредственно связанной с ней вершин;

Р_i – потенциал исходной вершины, км;

Р_j – потенциал вершины, непосредственно связанной с исходной, км;

l_ij – длина звена между исходной и непосредственно связанной с ней вершинами, км.

3. Из всех рассчитанных таким образом потенциалов выбирается наименьший, его значение записывается в таблицу кратчайших расстояний, а соответствующее звено на рисунке отмечается стрелкой.

4. Вершина с наименьшим потенциалом принимается за исходную, от нее вновь определяются потенциалы всех вершин, непосредственно связанных с ней.

5. Просматриваются все известные к этому моменту потенциалы (определенные как на предыдущем, так и на данном этапе), из них вновь выбирается наименьший, его значение заносится в эту же таблицу, а соответствующее звено на рисунке отмечается стрелкой.

Для того чтобы определить кратчайшие расстояния до всех вершин сети от другой вершины необходимо проделать заново все расчеты рассмотренным методом, приняв за начало сети выбранную вершину и присвоив ей потенциал, равный 0. Таким образом, расчеты повторяются до полного заполнения таблицы и рисунка.

Метод моди.

1. Делается первоначальное закрепление потребителей за поставщиками. (способ двойного предпочтения)

2. Затем первоначальный план проверяется , он должен удовлетворять следующим условиям:

а)Число загруженных клеток должно быть равно

n+m-1,

где n- кол-во пунктов потребления,

m - кол-во пунктов отправления.

б)Отсутствие циклов, когда во всех вершинах условного контура лежат загруженные клетки.

3. Проверка оптимальности полученного распределения.

В распределительную матрицу вводятся вспомогательные строка и столбец. Относительной оценкой любой клетки вместо расстояния Lij служит параметр

d_ij = l_ij - u_i - v_j. (1)

Принимая для загруженных клеток d_ij=0 и используя формулу 1 определяем числа Ui и Vj, называемые потенциалами. Для этого потенциал одной из строк Ui принимаем равным 0, его желательно установить тому отправителю, у кот имеется загруженная клетка с мах расстоянием. Потенциалы других строк и столбцов определяют по формулам:

U_i= l_ij-V_j

V_j= l_ij- U_i

Затем по потенциалам строк и столбцов определяют параметры d_ij для каждой незагруженной клетки. Отсутствие клеток где d_ij <0 означает, что получен оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками.

4. Улучшение полученного распределения.

Если существуют клетки, в кот d_ij<0, то необходимо улучшать полученный план. Для этого выбирают такую клетку, в кот d_ij минимальное. В эту клетку перемещается загрузка, что обеспечит снижение грузооборота.Для перемещения загрузки составляется контур, где все вершины ( кроме той, где d_ij <0) лежат в загруженных клетках.

Таким образом вычисления последовательно ведут до тех пор, пока имеются кл, где есть отриц значения d_ij . Их отсутствие показывает, что улучшить распределение нельзя, что оно является оптимальным, т.е. получено окончательное распределение.