Вопрос 26. Теорема Остроградского-Гаусса.

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет определить поток вектора напряженности от любого количества зарядов, определяющими поток E(вектор) через шаровую поверхность в центре которой расположен точечный заряд.

Ne=

Полный поток вектора напряженности E через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключенных в этой поверхности поделенной на абсолютную диэлектрическую проницаемость.

NϷ=

Линейная плотность заряда – физическая величина, характеризующая его распределение вдоль линии или тонкого цилиндрического тела и численно равная отношению заряда к длине рассматриваемого элемента.

τ= , [τ]=Кл/м

Поверхностная плотность заряда – физическая величина, характеризующая его распределение по поверхности тела, равна отношению заряда к элементу поверхности.

τ= , [τ]=Кл/м²

Объемна плотность – физическая величина, характеризующая его распространение по объему тела и численно равная отношению заряда к элементу объема.

ρ=

Вопрос 27. Напряженность электростатического поля равномерно заряженной сферы.

Предположим, что сферическая поверхность радиуса R имеет на себе равномерно распределенный заряд q.

Возьмем точку А, отстоящую от центра на расстоянии r и мысленно проведем через нее сферическую поверхность S, симметрично заряженной сфере, тогда по определению потока:

Ne= =ε4πr², с другой стороны по теореме Остроградского-Гаусса

Ne= , то Е=

Сравнивая полученную формулу с формулой, полученной для напряженности поля точечного заряда можно прийти к выводу, что напряженность поля внутри сферы такова, как если бы заряд сферы был сосредоточен в ее центре.

Проведем через точку В внутри сферы сферу S’, зарядов нет, соответственно сумма зарядов равна нулю.

и Ne=0, значит и Е=0.

Вопрос 28. Напряженность электростатического поля длинной, равномерно заряженной нити.

Пусть тонкая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена τ=const.

Проведем симметричную цилиндрическую поверхность r<R. По определению поток вектора напряженности будет равен Ne= =E*2πrl, с другой стороны, по теореме Остроградского-Гаусса Ne= = , q=r*s

Тогда Е=

Можно выразить через линейную плотность

τ=q/l= =r*2πR, тогда r=

E= =

Вопрос 29. Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости.

Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на 1S равный τ. Из-за законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости и если нет других внешних зарядов, то поле по обе стороны поля должно быть одинаково по величине. Ограничим часть плоскости 1 воображаемым прямоугольным ящиком 2 таким образом, чтобы ящик рассекался пополам. Две грани ящика имеющие площадь каждая, должны быть параллельны плоскости. Суммарный поток вектора напряжения равен вектору Е1, умноженному на площадь передней грани + поток вектора Е2 через противоположную грань, умноженную на площадь после.

Ne=0 через остальные грани, т.к. линии напряженности их не пересекают. Повторяя предыдущие рассуждения и применяя теорему Остроградского-Гаусса получим E1S+E2S=q/εε0

E1S+E2S=rS/εε0

E1=E2=E

E=τ/2εε0