25. Задача.
Возьмем
цепь
(см. рисунок ниже). Известно, что 
.
Нужно
найти ток: 
Частота т. и напряж. одна и та же, значит необходимо найти и .
Решение: Выполним решение двумя способами:
непосредственным интегрированием с использованием заданных функций;
символическим методом;
1 Способ:
Т.к. вектора тока и
напряжения вращаются с одинаковой
частотой, их взаимное расположение
будет зафиксировано. Тогда пусть
,
и будем считать, что
.
Записываем
второй закон Кирхгофа для цепи: 
.
Здесь мы возьмем определенный интеграл, чтобы не выпускать начальные значения и смотреть, что происходит в цепи. Далее определенным интегралом пользоваться не будем (впоследствии будет показано, почему). Подставляем в это уравнение начальные:
.
Мы уже говорили, что
реакцией цепи на синусоидальное
воздействие будет синусоидальное
воздействие той же частоты. Поэтому в
установившемся режиме (а мы сейчас
рассматриваем установившиеся режимы)
сумма
.
В общем случае эти слагаемые обусловлены
переходным процессом. Казалось бы,
вполне естественно писать определенный
интеграл
.
Но
- некая «предыстория», это напряжение,
которое имеется в нулевой момент времени
на конденсаторе (это напряжение появляется
в результате переходного процесса, по
сути
- интеграл от
до
).
Итак, к этому материалу мы вернемся в следующем семестре, а пока будем писать неопределенный интеграл. Теперь решим получившееся уравнение, взяв два удобных момента времени:
:
;
:
;
Получили два уравнения с двумя неизвестными. Решаем:
.
Сдвиг
фаз находим делением
: 
.
Из этого уравнения следует, что угол сдвига фаз между током и напряжением определяется только параметрами самой цепи.
Вернемся к первоначальному уравнению для этой задачи и посмотрим размерность:
,
п
олучаем,
что
и
- реактивные
сопротивления –
сопротивления индуктивности и емкости
на переменном токе, измеряются, как и
активные сопротивления, в Омах. График
зависимости реактивных сопротивлений
от
изображен на рисунке.
2 Способ:
Теперь те же самые выражения получим символическим методом:
.
Видно, что все вектора
вращаются с одной частотой, у всех
величин будет фактор
.
Тогда, сокращая на
и вынося
в левой части за скобку, получим: 
,
где
- комплексное сопротивление цепи.
Важно!!!
Здесь
именно неперечеркнуто!!!
будет иметь другой смысл:
При этом комплексное сопротивление индуктивности и емкости соответственно имеют вид:
,
.
Комплексные величины равны тогда и только тогда, когда равны их амплитуды и фазы:
,
.
Посмотрим
на реактивные сопротивления, на
и
.
Пусть для тока есть
,
тогда для индуктивности:
Из последнего уравнения
следует, что
и
будут располагаться так, как показано
на рисунке (действительно,
).
Аналогично для емкости:
.
Тогда вектор напряжения относительно вектора тока будет направлен вниз (см. рисунок).
Итак, если вращение вектора тока и вектора напряжения по кратчайшему пути происходят против часовой стрелки, то такой угол сдвига фаз является положительным, если по часовой стрелке – отрицательным.