18. Матрица сечений .
Алгоритм построения матрицы:
1) чертится граф-схема; 2) выбирается дерево; 3) выбираются условно-положительные направления ветвей; 4) нумеруются сначала ветви дерева, потом хорды; 5) выбираются базовые сечения; 6) направление сечения определяется направлением образующей его ветви дерева;
Структура
матрицы
определяется выбором сечений. Сколько
ветвей
имеет дерево, столько сечений. Выбор сечения, как и дерева, неоднозначен.
О
пределение:
Сечение разделяет граф на 2 несвязанных
подграфа, которые после объединения
образуют исходный граф. Значит, мы можем
выбрать сечения, проходящие не через
одну, а через несколько ветвей дерева.
Сечение характеризуется направлением. Базовое (или базисное) сечение определяется направлением ветви дерева (см. рисунки справа). Базисным будем называть сечение, проходящее через любое число хорд, но только через одну ветвь дерева. В дальнейшем мы будем работать только с базисными сечениями.
В нашем примере выберем сечения так, как показано на рисунке ниже. Обозначим на этом же рисунке направление каждого из сечений. Теперь запишем матрицу сечений:
Очевидно, матрица
- блочная: 
,
причем
- единичная, никакой информации не
несет. Свойства
матрицы
.
Утв-ие:
. Док-во
I
з Кирхгофа
В отличие от матрицы инциденции, в данном случае мы работаем с деревом.
Утв-ие:
,
где
- ЭДС ветвей дерева. Док-во:
.
19.
20.
21. Метод узловых потенциалов.
Заметим, что в изображенной
цепи 3 узла. Известно, что распределение
токов и напряжений не изменится, если
мы заземлим любой из узлов и примем его
потенциал равным нулю. Заземлим узел с
потенциалом
.
По первому закону Кирхгофа для двух
оставшихся узлов запишем:
По обобщенному закону
Ома, запишем: 
Подставляем в и группируем слагаемые с одинаковыми потенциалами:
-
это и есть уравнения
по МУП.
Уравнения имеют следующую
структуру. Потенциал узла умножается
на его собственную
проводимость
- сумма проводимостей всех ветвей,
сходящихся к узлу. Из этого произведения
вычитаются потенциалы узлов, имеющие
с рассматриваемым общие ветви, умноженные
на взаимную проводимость этих узлов
(сумму проводимостей всех ветвей, которые
находятся между этими двумя узлами).
Потенциал узла, потенциал которого мы
приняли равным нулю, естественно, в
уравнения не входит. Матрица
в общем случае будет симметрична, на
главной диагонали будут стоять собственные
проводимости узлов; эти элементы матрицы
всегда будут иметь знак «плюс».
Недиагональные элементы всегда будут
иметь знак «минус». В правой части
уравнений– алгебраическая сумма
произведений источников ЭДС на
проводимости соответствующих ветвей,
причем это произведение берется со
знаком «+», если ЭДС направлена к узлу,
и со знаком « – », если от узла.
Рассмотрим случай, когда
в цепи будут присутствовать источники
тока. Понятно, что проводимость первой
ветви в этом случае будет равняться
нулю, и первое уравнение будет выглядеть
следующим образом: 
,
источник тока войдет в
правую часть со знаком «плюс», если он
направлен к узлу и со знаком «минус» в
противоположном случае. Количество
уравнений не уменьшается. Следовательно,
уравнения по МУП не зависят от изначально
выбранных направлений токов в ветвях.
Количество уравнений по МУП: 
.
МУП хорош тем, что не нужно выбирать дерево.
Посмотрим на знаки перед
источниками, постараемся понять, почему
направление источников так хитро
учитывается. Докажем правильность
расстановки знаков, обратившись к
стандартной ветви. Рассмотрим схему,
содержащую
узлов, и рассмотрим стандартную ветвь,
сначала без источника тока.
Естесственно, 
.
Значит 
Для любого узла выполняется
первый закон Кирхгофа (выбрасываем
только собственный узел). 
.
Учтем,
что узел
к узлу никакого отношения не имеет, его
можно вынести за скобку:
.
Отсюда 
,
сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся к узлу, умноженная на потенциал собственного узла, взятая со знаком «плюс», минус сумма произведений проводимостей между i–м и j–м узлом и потенциалов соответствующих узлов равна взятой со знаком «минус» сумме произведений источников на проводимости.
Мы доказали все знаки, полученные ранее на частном примере.
Теперь вспоминаем об источнике тока. В данном случае он будет вытекающим. С учетом его наличия, уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:
.
Полученный результат также соответствует результату, полученному ранее для частного примера.
Если
мы теперь посмотрим на уравнение 
,
где
в
могут входить как источники тока, так
и источники ЭДС, умноженные на проводимость,
- собственные проводимости, берутся со
знаком « + »,
- взаимные проводимости, берутся со
знаком « – ».
Получим
эту же систему уравнений в стандартном
виде, т.е. через стандартную ветвь. Для
стандартной ветви: 
.
Опираясь
на закон Ома и записанные выше уравнения,
получим: 
.
Вспомним
про редуцированную матрицу инциденций,
умножим правую и левую часть на
:
Сравниваем
число уравнений и число неизвестных.
Матрица
дает нам N-1
уравнений, а число неизвестных – это
число ветвей графа. Вспоминаем, что 
Подставляем
это в полученное ранее выражение: 
Свели
уравнение к полному. Получаем относительно
: 
Теперь
можем найти все необходимое: 
,
Замечание: Матрица не требует составления дерева, поэтому вычислительный алгоритм для машин будет относительно простым.