12. Метод контурных токов.

Сначала выбираем произвольно направления токов в контурах. Так как оно будет условным, то исходя из полученного в дальнейшем знака, мы будем судить о направлении тока. Отталкиваться будем от законов Кирхгофа. Для нашего примера (см. рисунок) первый закон Кирхгофа имеет вид:

.

В ыбираем дерево, которое включает в себя максимальное количество ветвей без источников тока. Пусть это будут ветви, содержащие . Запишем второй закон Кирхгофа для выбранных контуров:

Законы Кирхгофа дают полную систему уравнений имеющую максимальную размерность. Конкретные методы позволяют уменьшить размерность системы.

В данном случае мы возьмем токи из первого закона Кирхгофа и подставим их в уравнения из второго закона Кирхгофа. Получим:

Систему уравнений мы можем трактовать следующим образом. Через каждый элемент протекает некий контурный ток: . Значит падение напряжения на элементе обусловлено протеканием через него всех контурных токов, причем напряжение от собственного контурного тока всегда берется со знаком плюс. Падения напряжений от остальных контурных токов берутся со знаком плюс, если направления контурных токов совпадает с направлением рассматриваемого тока, и в обратном случае с минусом. Естественно, полученная матрица сопротивлений симметрична относительно главной диагонали.

13.

14.

15. Матрицы параметров цепей.

1. Матрица сопротивлений .

Если цепь имеет ветвей, то матрица сопротивлений имеет вид: .

Строки и столбцы соответствуют номерам ветвей цепи, на главной диагонали – – собственные сопротивления ветвей, - взаимные сопротивления ветвей (их обуславливает взаимная индуктивность). Для линейных цепей . На постоянном токе - диагональная матрица, на главной диагонали – собственные сопротивления ветвей: .

Как используется матица сопротивлений; запишем закон Ома в матричной форме: ,

где - вектор-столбец напряжений ветвей цепи, - вектор-столбец токов, протекающих через ветви цепи. При нумерации ветвей и при записи матриц и векторов всегда должно наблюдаться соответствие, т.е. если мы рассматриваем первую ветвь, то должно соответствовать напряжению на этой ветви, - ток, протекающий через эту ветвь, - сопротивление первой ветви. Матричное уравнение мы можем решить относительно токов:

,

где -матрица проводимостей. Для постоянного тока

Иногда вместо используют обозначение , вместо – . Если работаем не на постоянном токе, то нужно обращать матрицу: .

16. 1. Матрица «контур-ветвь» ;

Этим матрицам абсолютно безразлично, какие элементы находятся в ветвях, принципиальны только параметры соединений. Запишем алгоритм формирования матрицы :

1. ч ертится граф-схема;

2. выбираются условно-положительные направления ветвей (токов в ветвях);

3. выбирается дерево;

4. нумеруются ветви графа, причем сначала хорды, потом ветви дерева;

5. выбираются независимые контуры; мы уже говорили о том, что чтобы гарантировать независимость контура, будем замыкать контур по ветвям дерева, число независимых контуров = числу хорд;

направление контура определяется направлением образующей его хорды;