57. Метод Ньютона-Рафсона.
П
ри
расчете нелинейных цепей этот метод
реально используется на практике,
поскольку у метода Н-Р сходимость
квадратичная. Выберем точку
,
соответствующее значение функции
.
Построим уравнение касательной в этой
точке, которая пересечет ось напряжений
в точке
.
Тогда
.
Построим
уравнение касательной к функции в точке
,
которая пересечет ось напряжений в
точке
и т.д. На
м
шаге получим:
.
Судя
по графику (см. рис.) алгоритм достаточно
быстро сходится к искомому решению,
поэтому будем считать, что на
м
шаге требуемая степень точности
достигнута и
,
тогда
.
Поскольку мы рассматриваем аналитические методы решения, вычисление производной функции тоже можно провести с помощью некоторого численного алгоритма. Разложим функцию в ряд Тейлора:
Сформируем выражение для производной:
Ошибка
при данном способе вычисления производной
будет определяться величиной
.
Изменим алгоритм подсчета производной:
, 
получается знакочередующийся ряд. Вычтем почленно из уравнения уравнение :
.
Действительно,
при таком определении производной
ошибка пропорциональна
,
точность метода существенно выше.