41. Расчет переходных процессов операторным методом.
Разберем решение операторным методом все те же задачи, которые мы решали классическим методом.
RL-цепь на постоянном токе. Сначала изобразим операторную схему замещения с учетом нулевых начальных условий (см. рисунок).Тогда для операторного тока получим:
,
где
,
тогда 
,
получили тот же самый результат, что и классическим методом, только затратив гораздо меньше усилий.
RС-цепь на постоянном токе. Опять считаем начальные условия нулевыми.
,где
.RLС-цепь на постоянном токе.
В
зависимости от корней выражения в
знаменателе и решение будет иметь тот
или иной вид. Возьмем «наименее приятный»
случай – периодический процесс. В этом
случае
,
где
;
.
Ниже разговор пойдет о
теореме смещения, и мы покажем, что в
случае зависимости изображения не от
,
а от
оригинал действительно будет домножаться
на
.
При нулевых начальных условиях расчет цепи с помощью операторного метода совпадает с комплексным методом расчета за исключением нахождения оригинала.
Переход от изображений к оригиналам.
С
точки зрения математики, переход от
изображений к оригиналам осуществляется
с помощью следующей формулы: 
.
Однако этой формулой мы пользоваться не будем.
Формулы изображений по
Лапласу для экспоненты периодических
функций, константы мы уже получили. Ключ
моделируется с помощью единичной функции
Хевисайда: 
,
эта функция удовлетворяет условиям отображения функции по Лапласу и позволяет смоделировать замыкание цепи, если замыкание ключа происходит в момент времени .
Пусть замыкание происходит
в момент времени
,
тогда функция Хевисайда будет иметь
соответствующий сдвиг.
42.
Пусть
- дробно рациональная ф-ия, где у-ие
не имеет кратн корн и не имеет корн,
совпадающих с корнями у-ия
.
В этом случае
может быть представлена в виде:
, где
- корни уравнения
.
Докажем это: найдем
.
Для этого умножим правую и левую части
уравнения
на
и возьмем предел при
: 
В
правой части: 
.
В левой части мы из под
знака предела можем вынести
,
поскольку среди его корней нет
,
тогда под знаком предела получится
производная: 
, значит
.
Тогда
функция
имеет вид: 
,
теорема разложения доказана. Рассмотрим теперь частные случаи.
Уравнение имеет корень ;
Это возможно только в
том случае, когда в цепи присутствуют
постоянные источники ЭДС или тока. Тогда
разложение примет вид: 
, где
первое слагаемое определяет установившееся
значение тока или напряжения.
Уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней:
.
Этот случай возможен,
когда в цепи действуют синусоидальные
источники ЭДС или тока. Тогда разложение
примет вид: 
,
где сумма первых двух слагаемых определяет
установившееся значение синусоидальных
тока или напряжения.
Уравнение имеет корень кратности
.
Тогда разложение имеет вид (результат приведен без вывода):
,
где 
, оригинал
получившегося выражения выглядит
следующим образом: 
.
Полученное выражение
можно немного упростить: 
,
где m
– кратность k
– го корня
.
Существуют 2 «замечательных» предела, позволяющие проверить получившийся результат, прежде чем переходить от изображений к оригиналам. Пусть нам удалось найти изображение по Лапласу искомой функции, тогда должны выполняться следующие равенства:
,
т.е. по значению оригинальной функции в момент времени сразу после коммутации и по установившемуся режиму (принужденная составляющая функции) мы можем судить о правильности полученного изображения. Однако эти условия являются необходимыми, но не достаточными условиями правильности решения.