34. Включение rl цепи на постоянное напряжение.
Д
ействуем
точно так же, как и в предыдущем примере.
Записываем 2 закон Кирхгофа и выражения
для свободного и принужденного токов:
Решая характеристическое уравнение, находим p и постоянную времени:
Пользуясь законами коммутации, находим постоянную интегрирования:
Записываем окончательное выражение для тока через индуктивность:
.
Т
еперь
найдем напряжение на индуктивности:
;
Постоянная времени одинакова для всех процессов цепи!
Рассмотрим
поведение индуктивности в переходном
процессе. В начальный момент времени
,
т.е. все напряжение источника приложено
к зажимам индуктивности. Кроме того, по
1 закону коммутации, ток через индуктивности
до и после коммутации одинаков. Значит
индуктивность
в начальный момент времени после
коммутации ведет себя как источник
тока.
35. Включение rl цепи на источник синусоидального напряжения.
П
роделываем
те же ходы, что и в предыдущих случаях,
только с учетом синусоидального
принуждающего напряжения:
.
Второй
закон Кирхгофа теперь имеет вид:
;
.
Принуждающая составляющая тока после коммутации является синусоидальной функцией той же частоты, что и источник, а амплитуда его не зависит от времени:
;
;
;
Как говорилось выше, свободная составляющая тока не зависит от входного воздействия:
;
;
Итак,
общий ток в контуре после коммутации
равен: 
.
В начальный момент времени до коммутации ,
тогда 
.
Ток в начальный момент времени равен нулю, значит характеристики свободного и принужденного токов начинаются со значений равных по модулю и противоположных по знаку (равные расстояния по оси ординат отмечены на графике). Результирующий график получается сложением двух графиков. Со временем характеристика результирующего тока бесконечно близко приближается к принуждающему воздействию.
Заметим,
что при
установившийся режим наступает сразу
после коммутации (свободная составляющая
будет отсутствовать, поскольку
).
36. Задачи с некорректными начальными условиями.
П
еред
нами цепь первого порядка (после
коммутации 2 последовательно соединенные
индуктивности можно объединить в одну).
Решаем так же, как и предыдущие задачи:
;
;
;
;
.
Посмотрим,
что произошло в момент коммутации. После
коммутации по 1 закону Кирхгофа для
неразветвленного участка цепи,
,
действительно, индуктивности находятся
в одной ветви, значит и ток через них
протекает один и тот же. С другой стороны,
до коммутации 
;
.
Данный тип задач называется задачей с некорректными начальными условиями.
Ток
в момент коммутации меняется скачком.
Запишем уравнения в несколько ином
виде. По 2 закону Кирхгофа,
.
Чтобы
понять, что произошло в нулевой момент
времени, проинтегрируем оба уравнения
в интервале от
до
:
;
Даже
если ток изменился скачком, интеграл
,
Значит 
.
Последнее уравнение можно переписать в виде:
,
.
При
некорректных условиях мы переходим от
сохранения тока к сохранению магнитного
потока. Если
в условиях данной задачи ток через
индуктивность не сохраняется, то должен
сохраняться магнитный поток. Исходя из
этой формулировки первого закона
коммутации, запишем: 
.
Р
ассмотрим,
как с энергетической точки зрения
происходит скачок тока.
Значение
тока сразу после коммутации должно
находиться между двумя начальными
значениями (в нашем случае, между 0 и
),
потому что при скачке тока на индуктивности
будет бесконечное напряжение и,
соответственно, на ней будет выделяться
бесконечная мощность. Но если у одной
индуктивности скачок будет отрицательным,
т.е. она будет отдавать
энергию в цепь,
то скачок тока на второй индуктивности
будет обусловлен не за счет энергии
источника, а
за счет энергии, которую отдаст в цепь
первая индуктивность.
Для емкостей будет аналогичная ситуация,
только со скачком напряжения, и будет
сохраняться заряд.
Чтобы обеспечить скачок тока или напряжения, источник должен обладать бесконечной мощностью, что невозможно. Поэтому и начальные условия называются некорректными.