33. Классический метод расчета переходных процессов.

В озьмем последовательный контур, изображ на рис и запишем для него 2 закон Кирхгоф: , причем в данном случае на не наклад. никаких опр-ых усл. Продифф-ем по : .

То же самое уравнение мы можем записать для установившегося режима: ,

здесь - установившееся значение тока, которое переменный ток принимает после окончания переходного процесса, то есть при . Мы будем обозначать как - принужденный ток. Назовем свободным током разность между переходным током и установившимся током. Тогда мы можем сказать, что переходной ток будет равен сумме свободной составляющей и установившейся составляющей:

, .

Теперь составим подобное уравнение и для свободной составляющей: .

Свободная составляющая тока не зависит от входного воздействия и определяется только параметрами цепи. Разложение тока на составляющие – свободною и установившуюся – чисто математический прием. Решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного частного уравнения. В теории цепей поступили точно также, разложив ток на составляющие: однородную - и неоднородную - . Для дифференциального уравнения -го порядка, если нужно определить ток в -й ветви, можно записать: ,

и решение этого уравнения будет выглядеть как ,

где коэффициенты определяются из характеристического уравнения ,

а коэффициенты определяются из начальных условий (законов коммутации). Для нашего случая (цепь второго порядка): .

Характеристическое уравнение имеет вид , его корни имеют вид: .

Переходные процессы.

Внезапное изменение токов, напряжений или параметров цепи называется коммутацией. В результате коммутаций протекают переходные токи, идет переходной процесс. В чисто резистивных цепях коммутация не вызывает переходных процессов: если в результате коммутации идет перераспределение энергии, которая накоплена в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора, то только в этом случае происходит переходной процесс.

Представим, что ток через индуктивность изменился скачком. В этом случае напряжение на индуктивности должно быть равно бесконечности, однако ,

мгновенная мощность, которая в таком случае тоже будет равна бесконечности. А поскольку мы имеем дело с источниками ограниченной мощности, получаем

1-й закон коммутации:

В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток не меняют своих значений в момент коммутации и их изменения начинаются с тех значений , которые они имели до коммутации. Если коммутация происходит в момент времени , то мат. запись будет выглядеть следующим образом: ,

т.е. скачка быть не может. Аналогично, если у нас есть напряжение на конденсаторе, которое меняется скачком, то ток через этот конденсатор должен быть равным бесконечности, а тогда произведение тока на напряжение тоже есть бесконечность что противоречит конечности мощности источника.

2-ой закон коммутации:

Напряжение и заряд на емкости в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации и их изменения начинаются именно с этих значений, т.е.

.

Переменные, значения которых подчиняются законам коммутации, т.е. и , называются независимыми переменными, потому что мы непосредственно из законов коммутации можем определить их начальные значения. Переменные, значения которых мы не можем после коммутации определить непосредственно, называются зависимыми.

Однако существуют такие условия, при которых величины могут изменяться скачком. Но в этом случае напряжение на индуктивности и ток через емкость будут равны бесконечности – случай идеализированный. Вскоре мы «изобретем» такую схему, что мощность источника будет конечна, а мощность на индуктивности – бесконечна.