28. Балансы мощностей.

Баланс бывает полезен для проверки: позволяет установить, правильно или нет решена задачка.

Итак, из закона сохранения энергии можно утверждать, что баланс активных мощностей существует и обязан выполняться. Однако мы ввели еще понятия полной, реактивной и комплексной мощностей. Разберемся, что получится в каждом из этих случаев.

Пусть в цепи n узлов, тогда по первому закону Кирхгофа в комплексной форме: ,

т.е. в матрице этой системы отсутствуют диагональные элементы – узел сам с собой не соединен. Посмотрим на векторную диаграмму. Изобразим три произвольных тока: , , . Из рисунков ясно, что если первый закон Кирхгофа справедлив для комплексов токов, то он справедлив и для комплексно сопряженных величин:

У множим теперь каждое из полученных для сопряженных величин уравнение на комплекс потенциала соответствующего узла, получим:

Учтем, что , тогда после сложения уравнений получим:

.

Мы получили запись для комплексных мощностей, причем сумма комплексных мощностей во всех ветвях равна нулю, значит у нас есть как положительные члены (источники), так и отрицательные (потребители), т.е.

.

Для полных мощностей баланс не выполняется, потому что это амплитуды. Для решения задач удобно пользоваться следующими формулами: ,

.

Продолжаем подсчет баланса мощностей. Обратим внимание, что полярности на источниках мы ставили так, чтобы ток протекал от минуса к плюсу, тогда в левой части баланса мощностей, в которой записывается:

,

все слагаемые в суммах будут входить со знаком «плюс». Итак, ищем полную мощность источников:

.

.

.

Итого, . Теперь правая часть баланса мощн: .

Здесь - действующее значение, никаких комплексных чисел в правой части в отношении токов не ставится! Итого: .

Баланс комплексных мощностей сошелся. Пусть теперь нужно найти токи и напряжения в схеме. Рассчитаем один ток, все остальное точно так же. Итак, найдем ток . Приведем к показательной форме: , тогда ,

здесь мы не забыли еще умножить на , поскольку - действующее значение, а для гармонических составляющих мы должны писать амплитуду.

Отметим еще, что для комплексных величин справедливы все ранее пройденные методы: МКТ, МУП, наложение, эквивалентный генератор. Только символический метод справедлив лишь для линейных цепей.

29.

30. Резонанс токов (резонанс в параллельном контуре).

У же говорили о том, что для проводимости:

.

,

потому что отношение мнимой к действительной части сопротивления дает нам угол сдвига фаз между током и напряжением. Для проводимости отношение действительной и мнимой части даст нам угол сдвига фаз между напряжением и током. Чтобы получить угол сдвига фаз между током и напряжением, нужно поменять знак. Тогда если мы хотим, чтобы для входных тока и напряжения совпадал угол сдвига фаз, то

.

Мы получили две совпадающие резонансные частоты для параллельного и последовательного контура. Это ни о чем не говорит! Резонансная частота может быть любой для конкретной задачи. Ее нужно определять из условия совпадения тока и напряжения по фазе! Т.е. мнимое значение либо сопротивления, либо проводимости есть ноль.

- волновая проводимость.

Д обротность контура – это отношение тока, протекающий через реактивный элемент, к току, протекающему через активный элемент:

.

Т.е. добротность контура равна отношению волновой проводимости и активной проводимости.

Теперь займемся построением частотных характеристик. Активная проводимость не зависит от частоты, . Все характеристики строим точно так же, как и в случае последовательного контура.

,

х арактеристика идет из в и имеет минимум в точке резонанса.

, т.е. - зависит от частоты.

:

1. цепь без потерь, .

.

П онятно, что асимптота будет при . Пунктиром показан график, который мы бы получили, взяв .

2. 

,

Абсолютно аналогично последовательному контуру, получаем график, изображенный на рисунке справа.

Р ассмотрим зависимость сдвига фаз от частоты:

.

Х арактер цепи при – чисто индуктивный. Наша характеристика будет начинаться из (еще и поэтому нужно было брать ). С увеличением добротности кривая становится все более резкой. Для цепи без потерь (при ) получим график, аналогичный случаю с последовательным контуром: в точке резонанса меняется скачком.

Теперь рассмотрим резонансные кривые. Будем поддерживать постоянным входной ток. Тогда

,

здесь все то же самое: на промежутке от до имеем произведение двух возрастающих функций. На бесконечности емкость представляет из себя закоротку, весь входной ток будет протекать через емкость, .

,

начинаем опять из , переходим к ; затем, при , индуктивность представляет из себя закоротку, весь ток будет протекать через индуктивность, .

31.

32.