14. Биномиальный зр. Числовые характеристики (чх) биномиальной св.

Биномиальная СВ (БСВ) – ДСВ , представляющая собой число успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью появления успеха в одном испытании равным . Обозначается: .

Вероятности: .

Т.о. закон распределения БСВ имеет вид:

			…		…
			…		…

Проверим условие нормировки:

.

Рассчитаем МО и Д БСВ:

.

15. Геометрический зр. Чх геометрической св.

Геометрическая СВ – ДСВ , представляет собой число испытаний по схеме Бернулли до наступления первого успеха, с вероятностью успеха в каждом испытании равным .

.

Вероятности: .

Т.о. закон распределения ГСВ имеет вид:

			…		…
			…		…

Проверим условие нормировки:

.

Рассчитаем МО и Д ГСВ:

.

16. Пуассоновский зр. Чх пуассоновской св.

Пуассоновская СВ – ДСВ называется Пуассоновской, если множество ее значений , а вероятности значений определяются по формуле:

.

Т.о. закон распределения ПСВ имеет вид:

			…		…
			…		…

Проверим условие нормировки:

.

Рассчитаем МО и Д ПСВ:

.

17. Равномерный зр. Чх равномерно распределенной св.

Говорят, что НСВ имеет равномерный закон распределения на отрезке ( ), если , а - постоянна на отрезке :

.

Выберем из условия нормировки:

.

Найдем ФР:

1. ;

2. ;

3. .

Рассчитаем МО и Д равномерной СВ:

18. Показательный зр. Чх показательно распределенной св.

Г оворят, что НСВ имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения ( ), если , а определяется, как:

.

Проверим условие нормировки:

.

Найдем ФР:

1. ;

2. .

В точке - происходит разрыв - не существует.

Рассчитаем МО и Д равномерной СВ:

19. Нормальный (Гауссовский) зр, смысл его параметров.

Говорят, что НСВ имеет нормальный (гауссовский) закон распределения с параметрами и и обозначается , если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей:

, где .

График плотности симметричен относительно прямой и принимает наибольшее значение в точке и .

Проверим выполнение условия нормировки:

.

При , то - стандартная нормальная СВ.

Его ФР: - функция Лапласа.

20. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания гауссовской св в заданный интервал. Правило трех сигма .

- функция Лапласа. Она обладает следующими свойствами:

1. Ф (0)=1/2

2. Ф(-х)=1-Ф(х)

Иногда вместо функции Лапласа Ф(х) используют функцию

Она в свою очередь обладает следующими свойствами:

1. Ф₀(0)=0

2. Ф₀(-х)=-Ф₀(х)

3. Ф(х)=1/2+Ф₀(х), х>0

ФР СВ, имеющей нормальный ЗР также выражается через функцию

Вероятность попадания СВ Х, имеющей нормальный ЗР, на интервал [x₁, x₂) определяется по формуле: . Наиболее просто вычисляются вероятности попадания нормальной СВ на интервал длины 2l c серединой в точке а.

Полагая в последней формуле и учитывая, что Ф(3)=0,9987, получаем:

Полученный факт носит название «правила трех сигма». Оно означает, что практически все значения НСВ принадлежат промежутку (a- , a+ ) в том смысле, что вероятность того, что СВ примет значение, не принадлежащее данному промежутку пренебрежимо мала.