10. Дискретные св. Закон распределения (зр) дискретной св.

СВ заданная на вероятностном пространстве называется дискретной, если множество ее возможных значений является конечным или счетным:

.

Для полной вероятностной характеристики СВ достаточно указать (перечислить) все ее возможные значения и указать вероятности . Поскольку события образуют ПГС, то должно выполнятся условие нормировки: .

			…		…
			…		…

Такую информацию о ДСВ записывают в таблицу:

(она является законом распределения ДСВ).

ФР ДСВ определяется формулой:

.

Иначе, ФР ДСВ, имеющее конечное число значений записывают как:

По скачкам в графике функции распределения можно однозначно установить закон распределения этой ДСВ.

11. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.

Опр НСВ – случайная величина - определенная на вероятностном пространстве называется непрерывной, если ее функция распределения (*).

Функция называется плотностью распределения вероятностей (ПВ) НСВ .

И з определения НСВ напрямую вытекают свойства ФР НСВ:

1. - непрерывная . (следует из непрерывности интегрирования с переменным верхним пределом, при этом необязательно непрерывна).

2. В точках непрерывности ф-ция распределения является дифференцируемой и (**) (следует из свойства 1 и свойства интегрирования с переменным верхним пределом). В точках, где непрерывности нет ФР имеет излом.

Замечание: Представление (*) задает плотность вероятностей неоднозначно, поскольку изменение на любом множестве меры 0, не изменит этого представления. Поэтому говорят, что ФР НСВ является дифференцируемой почти всюду и для почти всех .

Из (**) и определения производной следует: .

Т.о. с физической точки зрения можно интерпретировать , как массу, приходящуюся на отрезок . Это оправдывает понятие как плотности.

Несмотря на то, что (*) и (**) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между ПВ и ФР, но ПВ является более наглядной вероятностной характеристикой НСВ. ПВ также называют законом распределения НСВ.

Свойства плотности вероятности:

1. (почти всюду) т.к. ФР неубывающая функция.

2. - условие нормировки.

3. .

Т.к. .

При НСВ т.к. .

Свойства 1 и 2 полностью описывают класс ПВ (если удовлетворяет свойствам 1 и 2, то и НСВ, плотностью которой она является).

12. Математическое ожидание дискретных и непрерывных св.

13. Моменты, дисперсия и среднеквадратическое отклонение св. Свойства дисперсии.

Начальным моментом (НМ) -го порядка СВ называется МО -ой степени этой СВ.

, если МО существует. (*)

Обычно рассматривается НМ положительного и целого порядка: ;

Например: и .

Центральным моментом - го порядка СВ называется МО, - ой степени, отклонения этой СВ от ее МО: .

СВ называется центрированной СВ (ЦСВ), т.к. .

Т.о. СВ , есть начальный момент - го порядка ЦСВ: .

.

Особую роль на практике играет (**), называемый дисперсией Д (МО квадрата отклонения СВ от своего МО). Д характеризует степень разброса СВ относительно ее МО (степень рассеянья ).

В механической интерпретации Д есть момент инерции, распределения единицы массы относительно центра масс.

На ряду с формулой (**) используется также:

.

Свойства Д:

1. п.н.

Доказательство: . Если , то . И в обратную сторону:

2. . Дисперсия не изменяется при добавлении к СВ константы.

Доказательство: .

3. , где .

Доказательство: .

имеет размерность квадрата СВ. Характеристикой рассеянья, имеющей размерность самой СВ является средне-квадратичное отклонение ( ).