3. Геометрическое определение вероятности. Пример.

Это определение приспособлено для ситуации с континуальным количеством равновероятных исходов, когда классическое определение не работает.

Говорят, что СЭ удовлетворяет геометрическом распределению если:

1. Исход можно изобразить точками некоторой области , имеющий конечную меру .

2. Можно считать, что попадание точки в любые области , имеющие одинаковую конечную меру равновозможное и не зависит от формы и расположения внутри . При этом говорят, что точка бросается наудачу.

Согласно геометрическому определению вероятности, вероятность попадания в любую область пропорционально ее мере .

.

Рассмотрим частные случаи:

; - длина подмножества на числовой прямой .

; - площадь подмножества на плоскости .

При мерой будет являться объем.

Из геометрического определения вероятности вытекают свойства:

1. ;

2. - условие нормировки;

3. ;

Т.к. свойства 1-3 справедливы, то из них вытекают:

4. т.к. .

5. из свойства 4 ( ).

6. . . Покажем несовместность событий и : . Тогда .

7. т.к. и свойство 6.

Пример: Стержень наугад разламывается на 2 части, какова вероятность того, что длины обломков будут отличаться более чем в 2 раза.

Решение: Исход - точка в которой и сломается стержень.

; .

.

4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.

Сформулировано в 1933 г. Колмогоровым А.Н.

Опр Класс подмножеств множества называют -алгеброй, если выполнены условия:

1. ;

2. - -алгебра замкнута относительно перехода к противоположному событию.

3. - -алгебра замкнута относительно операции сложения.

Утверждения 1-3 называются аксиомами -алгебры.

Покажем, что -алгебра замкнута относительно произведения и разности:

1. .

2. .

Множества и только они называются случайными событиями. Пара , где - пространство элементарных событий, а -алгебра его подмножеств называется измеримым пространством.

Опр Пусть - пространство элементарных событий, а -алгебра его подмножеств. Функция , отображающая (в вещественную прямую), называется мерой на измеримом пространстве , если она удовлетворяет условиям:

1. ;

2. .

Последние 2 утверждения называются аксиомами меры (аксиома неотрицательности и аддитивности). Мера отображающая называется нормированной мерой на измеримом пространстве , если .

Пусть - пространство элементарных событий, а -алгебра его подмножеств. Вероятностью или вероятностной мерой на измеримом пространстве называется функция , удовлетворяющая следующей системе аксиом:

1. (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. (аксиома счетной аддитивности).

Тройка называется вероятностным пространством.

Теорема Аксиома счетной аддитивности (3) эквивалентна 2-м аксиомам:

3*. Аксиома конечной аддитивности .

4. Если - последовательность событий, удовлетворяющая:

1. ;

2. .

то . Такая последовательность называется убывающей последовательностью событий.

Свойства вероятности:

1. т.к. .

2. из свойства 1 ( ).

3. . . Покажем несовместность событий и : . Тогда .

4. т.к. и свойство 3.

5. Теорема сложения вероятностей: .

Доказательство: , по аксиоме аддитивности:

(1).

Представим и несовместимы (2).

.

6. Если образует ПГС, то . Утверждение следует из свойства вероятности 3* и 4.