Термінологічний словник.

Координати вектора: , ;

Довжина вектора: ;

Кут між векторами: , ,

.

Множення вектора на число: , .

Додавання двох векторів: , , .

Віднімання двох векторів: , , .

Вираження скалярного добутку через координати співмножників: , , .

Вираження векторного добутку через координати співмножників: , ,

Застосування векторного добутку: – це площа паралелограма , побудованого на векторах і , тобто .

Тоді .

Загальне рівняння прямої:

Канонічні рівняння прямої: , - напрямний вектор, - точка в просторі.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки: ,

.

Кут між двома прямими: , ,

.

Умова перпендикулярності прямих: .

Умова паралельності прямих: .

Рівняння площини, яка проходить через три точки:

.

К олом називається множина точок площини, рівновіддалених від однієї точки , яка називається центром. Канонічне рівняння кола має вигляд

або , коли центр кола співпадає з початком координат. – радіус кола.

Еліпсом називається множина всіх точок площини, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок, які називаються фокусами, є величина стала. Канонічне рівняння еліпса має вигляд

, де .

Гіперболою називається множина всіх точок площини, для яких модуль різниці відстаней кожної з них до двох фіксованих точок площини, які називаються фокусами, є величина стала. Канонічне рівняння гіперболи має вигляд

де .

П араболою називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від однієї точки , яка називається фокусом, і даної прямої, яка називається директрисою. Канонічне рівняння параболи має вигляд

де величина називається параметром параболи.

Правило Крамера.

Це правило можна застосувати, якщо кількість рівнянь і кількість невідомих співпадають. Невідомі визначають за формулами

( ), де визначник системи і його складають з коефіцієнтів при невідомих, а у визначниках коефіцієнти при відповідних невідомих замінені вільними членами.

Матричний спосіб.

Запишемо систему у матричному вигляді. Для цього введемо матриці виду:

.

Запишемо систему у матричному вигляді . Розв’язок цього рівняння має вигляд , де є оберненою матрицею до матриці .

Метод Гауса.

Ідея методу Гауса полягає у зведенні розширеної матриці системи за допомогою елементарних перетворень матриці до трикутної матриці.

Варіанти індивідуальних завдань.

Завдання №1. Подані матриці А та В, числа α та β. Знайти:

а) С=αА + βВ; б) D = А · В^Т ; F = В^Т · А.

У кожному варіанті перша матриця– А, друга – В, перше число – α, друге – β.

1. , , 2, 3 2. , , -1, 2

3. , , 2, 2 4. , , 4, 3

5. , , -1, -2 6. , , -3, 1

7. , , 3, 2 8. , , -2, 3

9. , , -2, 4 10. , 2, -2

11. , , 4, 4 12. , , 4, -2

13. , , 2, 3 14. , , 3, 2

15. , , -3, -1 16. , , 3, 3

17. , , 4,2 18. , , -2, 4

19. , , 2, -4 20. , , 3, -5

21. , , 4, -3 22. , , -1, -2

23. , , 2, -2 24. , , 2, 4

25. , , 2, 3 26. , , 3, -4

Завдання №2.

Обчислити визначник матриці двома засобами:

а) розкладенням за елементами рядка чи стовпця;

б) методом трикутників;

в) методом Саррюса.

Завдання №3.

Знайти матрицю А^-1, якщо матриця А дорівнює:

Варіанти завдання 2 та 3.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

Завдання №4.

Задана матриця А. Знайти її ранг за допомогою елементарних перетворень.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25.

Завдання №5.

Розв’язати систему лінійних рівнянь двома засобами:

а) по правилу Крамера;

б) матричним засобом.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

Завдання 6. Задано координати вершини піраміди:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Знайти: 1. Довжину ребра .

2. Кут між ребрами та .

3. Площу грані .

4. Об’єм піраміди.

5. Зробити креслення.

Завдання №7.

Відомі координати точок А, В, С та D.

1. Знайдіть координати векторів а=АВ, b=CD.

2. Знайдіть їх довжину (абсолютну величину).

3. Знайдіть координати вектора d=2a-b та його абсолютну величину.

4. Знайдіть скалярний добуток векторів а та b.

Дані за варіантами.

1 варіант А(12; 5) В(11; 4) С(1; 1) D(9; 0)

2 варіант А(12; 13) В(4; 12) С(7; 0) D(1; 7)

3 варіант А(0; 2) В(8; 3) С(5; 3) D(5; 0)

4 варіант А(11; 4) В(5; 1) С(3; 8) D(2; 5)

5 варіант А(8; 13) В(8; 12) С(5; 9) D(8; 4)

6 варіант А(7; 9) В(1; 2) С(2; 7) D(5; 5)

7 варіант А(4; 5) В(7; 1) С(1; 6) D(1; 4)

8 варіант А(10; 8) В(9; 2) С(4; 2) D(4; 7)

9 варіант А(13; 7) В(1; 0) С(1; 3) D(5; 5)

10 варіант А(7; 6) В(0; 13) С(8; 9) D(3; 7)

11 варіант А(1; 3) В(6; 3) С(7; 9) D(7; 2)

12 варіант А(1; 9) В(4; 2) С(7; 4) D(5; 2)

13 варіант А(12; 8) В(2; 2) С(5; 8) D(6; 3)

14 варіант А(9; 5) В(8; 14) С(8; 1) D(1; 8)

15 варіант А(11; 14) В(6; 2) С(1; 9) D(3; 3)

16 варіант А(1; 2) В(4; 14) С(1; 9) D(3; 5)

17 варіант А(3; 7) В(6; 13) С(5; 5) D(5; 7)

18 варіант А(5; 5) В(12; 9) С(5; 1) D(1; 6)

19 варіант А(13; 0) В(4; 11) С(0; 9) D(5; 8)

20 варіант А(11; 4) В(6; 8) С(2; 2) D(1; 6)

21 варіант А(13; 14) В(5; 0) С(1; 2) D(8; 2)

22 варіант А(11; 14) В(6; 6) С(4; 8) D(0; 0)

23 варіант А(10; 1) В(1; 7) С(7; 5) D(9; 3)

24 варіант А(9; 10) В(9; 6) С(6; 2) D(3; 2)

25 варіант А(7; 3) В(10; 14) С(1; 2) D(7; 6)

Завдання №8.

Дано координати вершин деякого трикутника АВС. Знайти:

а) рівняння сторони ВС;

б) довжину сторони ВС;

в) рівняння висоти, проведеної з точки А;

г)довжину висоти, проведенної з точки А;

д) рівняння медіани, проведенної з вершини С;

е) площу трикутника АВС;

ж) кут В (у радіанах з точністю до двох знаків).

Зробити малюнок!

1. А(-10; 5) В(14; -2) С(-4; 22)

2. А(-10;10) В(14;; 3) С(-4; 27)

3. А(-20; 1) В(4; -6) С(-14; 18)

4. А(-15; -7) В(9; -14) С(-9; 10)

5. А(-20; 4) В(4; -3) С(-14; 21)

6. А(-10; 12) В(14; 5) С(-4; 29)

7. А(5; 3) В(29; -4) С(11; 20)

8. А(-8; 4) В(16; -3) С(-2; 21)

9. А(-13; 5) В(11; -12) С(-7; 12)

10. А(5; 4) В(-4; 8) С(-9; -2)

11. А(4; 6) В(-4; 0) С(-1; 4)

12. А(-1; 2) В(3; -1) С(0; 4)

13. А(3; 2) В(5; -2) С(1; 0)

14. А(10; 6) В(-2; 2) С(4; -6)

15. А(2; -1) В(-1; 3) С(2; 4)

16. А(-26; -10) В(22; 24) С(-14; 24)

17. А(-3; 3) В(6; -9) С(12; 9)

18. А(1; -1) В(-2; 1) С(3; 5)

19. А(8; 4) В(-4; -4) С(12; 8)

20. А(6; 7) В(-5; 9) С(-10; -3)

21. А(3; 1) В(-5; 8) С(-10; -2)

22. А(4; -4) В(6; -10) С(10; 14)

23. А(6; -9) В(9; -6) С(-6; 30)

24. А(-4; 8) В(12; -4) С(0; 16)

25. А(2; 1) В(-1; 1) С(3; 2)

Завдання №9.

Встановити, яка лінія задана даним рівнянням, та привести його до канонічного виду. Зробити малюнок.

1. х²+у²+10х-6у+25=0; 2. 4х²+у²+2х-14у+14=0;

3. 8х²+24х+12у+11=0; 4. 9х²-16у²-18х+32у+137=0;

5. у²+2х-10у+31=0; 6. 16х²+4у²+64х+8у+4=0;

7. 25х²+4у²-50х+24у+111=0; 8. у²-8х+4у+12=0;

9. -16х²+25у²+128х+50у-631=0; 10. 4х²+4у²+64х-4у+253=0;

11. 36х²-144у²-360х-1152у-6588=0; 12 .х²+6х-10у+19=0;

13. 9х²+9у²-12у-32=0; 14. 4х²+9у²-16х+36у+16=0;

15. 64х²-49у²+384х+490у+2487=0; 16. 45х²+45у²+30х-13=0;

17. 121х²+9у²-968х+36у+883=0; 18. у²+8х+12у+76=0;

19. 49х²-169у²-294х-2028у+2638=0; 20. х²+8х-5у+21=0;

21. 144х²-441у²+864х-62215=0; 22.144х²+49у²-288х-6912=0;

23. х²-4х-3у-2=0; 24. 16х²+121у²-96х-1792у=0;

25. 256х²-225у²-1800у-58500=0; 26. 4х²+81у²+810у+1701=0;

27. у²-3х-10у+31=0; 28. 2х²+2у²-2х+4у-7=0;

29. у²-5х-2у-14=0; 30. 289х²-225у²+1156х+900у+65281=0.

Питання для самоконтролю.

1. Поняття визначників другого та третього порядків.

2. Влавтивості визначників.

3. Методи обчислення визначників.

4. Що називається мінором та алгебраїчним доповненням визначника?

5. Матриці. Види матриць.

6. Операції над матрицями.

7. Обернена матриця. Алгоритм знаходження оберненої матриці.

8. Елементарні перетворення матриць.

9. Що називається рішенням СЛАР?

10. Рішення систем рівнянь за правилом Крамера.

11. Рішення СЛАР методом Гауса.

12. Рішення СЛАР за допомогою оберненої матриці.

13. Поняття вектора.

14. Скалярний, мішаний, векторний добутки векторів.

15. Види рівнянь прямої.

16. Парабола, її параметри, канонічне рівняння.

17. Гіпербола, її параметри, канонічне рівняння.

18. Еліпс, його параметри, канонічне рівняння.