Билет 30.

частиц макроскопической системы по координатам, импульсам или квантовым состояниям. Функция распределения является основной характеристикой самых разнообразных (не только физических) систем, которым свойственно случайное поведение, т.е. случайное изменение состояния системы и, соответственно, ее параметров. Даже в стационарных внешних условиях само состояние системы может быть таким, что результат измерения некоторого его параметра является случайной величиной. Функция распределения в подавляющем большинстве случаев содержит в себе всю возможную и потому исчерпывающую информацию о свойствах таких систем.

В математической теории вероятностей и математической статистике функция распределения и плотность вероятности отличаются друг от друга, но однозначно связаны между собой. Ниже речь пойдет почти исключительно о плотности вероятности, которую (согласно принятой в физике давней традиции) называют плотностью распределения вероятности или функцией распределения, ставя знак равенства между этими двумя терминами.

Случайное поведение в той или иной мере характерно для всех квантовомеханических систем: элементарные частицы, атомы молекулы и т. п. Однако случайное поведение – это не специфическая черта только квантовомеханических систем, многие чисто классические системы обладают этим свойством.

При произвольном физическом (или совсем нефизическом) смысле переменных V_x =  – 0 и   распределение  принято называть распределением Гаусса или нормальным распределением. Распределение Гаусса широко применяется в самых различных областях науки, техники, промышленности и т.п. В последней формуле 0 – наиболее вероятное значение переменной . Ввиду четности функции   относительно разности  – 0 величина 0 совпадает со средним значением переменной . Параметр  называется дисперсией и характеризует ширину (и высоту) максимума кривой распределения. Чем меньше дисперсия , тем уже и выше максимум кривой распределения

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ

- совокупность очень большого (впределе бесконечного) числа одинаковых физ. систем мн. частиц («копий»данной системы), находящихся в одинаковых макроскопич. состояниях. Приэтом микроскопич. состояния систем, составляющих С. а., могут различаться, <но совокупность их должна отвечать заданным значениям макроскопич. параметровс точностью до пренебрежимо малых флуктуации. С. а.- одно из осн. понятий статистической физики, оно позволяет применять методы теории вероятностейдля решения физ. задач, напр. для вычисления термодинамич. ф-ций. С. а. <описывается функциями распределениячастиц по координатам и импульсамв случае классич. механики или статистич. операторами ( матрицами плотности )в случае квантовой механики.

Примеры С. а.: энергетически изолированные системы частиц при заданнойполной энергии (микроканонич. ансамбль), системы частиц в контакте с термостатомзаданной темп-ры (канонич. ансамбль), системы частиц в контакте с термостатоми резервуаром частиц (большой канонич. ансамбль). Идея С. а. примениматакже к неравновесным системам. В этом случае макроскопич. состояние можноописывать пространственно неоднородными и зависящими от времени параметрами

Давление газа на стенку сосуда можно вычислить, используя модель идеального газа.

В процессе взаимодействия молекулы со стенкой сосуда между ними возникают силы, подчиняющиеся третьему закону Ньютона. В результате проекция υ_x скорости молекулы, перпендикулярная стенке, изменяет свой знак на противоположный, а проекция υ_y скорости, параллельная стенке, остается неизменной (рис. 1).

Рис. 1. Упругое столкновение молекулы со стенкой

Поэтому изменение импульса молекулы будет равно 2m₀υ_x, где m₀ – масса молекулы.

Выделим на стенке некоторую площадку S (рис. 2). За время Δt с этой площадкой столкнутся все молекулы, имеющие проекцию скорости υ_x, направленную в сторону стенки, и находящиеся в цилиндре с основанием площади S и высотой υ_xΔt.

Рис. 2. Определение числа столкновений молекул с площадкой S

Пусть в единице объема сосуда содержатся n молекул; тогда число молекул в объеме цилиндра равно nSυ_xΔt. Но из этого числа лишь половина движется в сторону стенки, а другая половина движется в противоположном направлении и со стенкой не сталкивается.

Следовательно, число ударов молекул о площадку S за время Δt равно  .

Поскольку каждая молекула при столкновении со стенкой изменяет свой импульс на величину 2m₀υ_x, то полное изменение импульса всех молекул, столкнувшихся за время Δt с площадкой S, равно  .

По законам механики это изменение импульса всех столкнувшихся со стенкой молекул происходит под действием импульса силы FΔt, где F – некоторая средняя сила, действующая на молекулы со стороны стенки на площадке S. Но по 3-му закону Ньютона такая же по модулю сила действует со стороны молекул на площадкуS. Поэтому можно записать:

Разделив обе части на SΔt, получим:

где p – давление газа на стенку сосуда.

При выводе этого соотношения предполагалось, что все n молекул, содержащихся в единице объема газа, имеют одинаковые проекции скоростей на ось x. На самом деле это не так. На самом деле в данную формулу должнен входить средний квадрат   проекции υ_x скорости молекул. С учетом этого формула для давления газа запишется в следующем виде: