7. Ймовірність появ однієї з двох несумісних подій. Узагальнення і наслідки.

Імовірність появи однієї з двух несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірності цих подій

, якщо А та В несумісні (адитивність)

Наслідок 1. Якщо події А₁, А₂ , …, А_n є єдиноможливими і несумісними, то складна подія А, яка полягає в відбуванні А₁ чи А₂, чи ..А_n, є достовірною і тому Р(А)=1, тобто Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1.

Наслідок 2.Сума ймовірностей взаємно протилежних подій дорівнює одиниці: =1.

8. Ймовірність появи однієї з двох сумісних подій. Узагальнення теореми

Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи:

Узагальнення теореми (на випадок n=3 сумісних подій)

9.Незалежні події. Ймовірність добутку двох незалежних подій. Узагальнення теореми

Дві події А і В називають незалежними, якщо ймовірність появи кожної з них не залежить від того появилась інша подія чи ні.Упротилежному випадку події називають залежними.

Кілька подій називають попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні. Наприклад, події А, В, С попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, В і С.

Декілька подій називають незалежними у сукупності (чи просто незалежними), якщо незалежні кожні дві з них і незалежна кожна подія і всі можливі добутки останніх. Наприклад, якщо події  ,  ,   незалежні в сукупності, то незалежні події

   і  ,   і  ,   і  ;   і  ,  і  ,   і  . Зі сказаного випливає, що якщо події незалежні в сукупності, то умовна ймовірність появи будь-якої події з них, обчислена у припущенні, що наступили будь-які інші події з числа останніх, дорівнює її безумовній ймовірності.

Ймовірність добутку двох незалежних подій

А

дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

.

10.Залежні події. Умовна ймовірність. Ймовірність добутку двох подій. Узагальнення теореми

Випадкові події А і B називають залежними, якщо імовірність появи однієї з них залежить від

того появилась інша подія чи ні.

Нехай події А і В залежні, умовною ймовірністю

події В називають ймовірність події В знайдену в припущені , що подія А уже відбулась.

Імовірність одночасної появи двох випадкових подій А і В дорівнює добутку імовірностей однієї з цих подій на умовну ймовірність іншої, обчисленої в припущені, що перша подія уже відбулась.

. Р(А*В)=Р(А)*Ра(В)=Р(В)*Рв(А).

11.Теорема про повну ймовірність

Ймовірність події А , яка може відбутись при умові появи однієї з несумісних подій В1, В2, В3, Вn, які утворюють повну групу = сумі добутків ймовірності кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А.

Тоді ймовірність події А подається формулою:

де — імовірність події — умовні ймовірності настання події А.

12. Формули Байєса

Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:

Ці формули допомагають переоцінювати імовірності гіпотез, що важливо при контролі і ревізіях.