1. Випадкові події, їх класифікація, приклади. Класичне правило обчислення ймовірностей

Випадковою називають таку подію, яка при умовах, що розглядаються, може трапитися, а може й не трапитися. Випадкові події позначаються великими літерами латинського алфавіту. Наприклад, якщо кинути монету, то поява герба беде випадковою подією, тому що замість герба може з`явитися надпис.

Вірогідною називають подію, яка відбувається в результаті кожного випробовування, пов’язаного з даним стохастичним експериментом.

Неможливими називають події які ніколи не можуть відбутися в результаті даного експерименту.

. Події рівноможливі, якщо шанси їхньої появи рівні. Поява чисел 1-6 для гральною кістки рівноможливо.

Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої в одному випробовувані.

Події несумісні, тоді коли поява однієї з них виключає появу іншої. Приклад. Серед деталей в ящику є стандартні і нестандартні. Навмання беруть із ящика одну деталь. Подія А – взята стандартна деталь, подія В – взята нестандартна деталь. Ці події несумісні, тому що взята лише одна деталь, яка не може бути одночасно стандартною чи нестандартною.

Класичним правилом обчислення ймовірності випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій : P(A)= m /n.

2. Елементарна подія. Простір елементарних подій, випробування, стохастичний експеримент. Приклади. Геометричне означення ймовірності.

Кожне конкретне або окреме проведення стохастичного експерименту, називають випробовуванням. Кожний можливий наслідок стохастичного експерименту називають елементарною подією.

.Наприклад, при киданні грального кубика можуть бути шість можливих подій. Множину усіх елементарних подій називають простором елементарних подій. Наприклад, при одноразовому киданні монети простір елементарних подій містить дві події, при дворазовому – 4. Прикладами випробування є: виготовлення деталі або виробу, кидання монети або грального кубика, розігрування лотереї, проведення аукціону. Експеримент називається стохастичним, якщо його можна повторити необхідну кількість разів, і його результати кожного разу передбачити неможливо. Стохастичними експериментами можуть бути, наприклад, підкидання кубика, монетки, підрахунок кількості студентів що прийшли на лекцію

Геометричне означення ймовірності: Якщо простір елементарних подій W можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарниx подій для події А — як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин:

3. Відносна частота, статистична ймовірність події, статистична модель стохастичного експерименту. Основні властивості ймовірності.

Відносною частотою події А називають відношення числа випробувань, у яких подія А відбулася до загального числа випробовувань проведених у даному експерименті P*(A)= m/n

Відносна частота при великій кількості випробовувань стає статистичною ймовірністю.

Якщо подія вірогідна то її імовірність дорівнює 1, якщо неможлива, то 0, якщо випадкова, то її ймовірність знаходиться в межах від 0 до 1

Протилежні події мають ймовірність сума якої = 1.

4. Комбінаторика. Основні правила комбінаторики. Означення факторіала і перестановок Комбінато́рика — розділ елементарної математики, в якому для скінчених множин розглядаються різні сполуки елементів та підраховується їх кількість.

Множину наивають упорядковану, якщо при її побудові істотним є порядок розміщення елементів.В іншому разі невпорядковану.

Правило суми

Якщо деякий об’єкт А можна вибрати м способами, а об’єкт В r способами, по іншому, то об’єкт А або В можна вибрати m + r cпособами.

Правило добутка

Якщо деякий об’єкт А можна вибрати м способами, а після кожного такого вибору В (можна вибрати незалежно від вибору об’єкта А) r способами, топару об’єктів А і В можна вибрати m * r способами.

Найпростішими прикладами комбінаторних конфігурацій є перестановки, розміщення, комбінація та розбиття.

факторіалом числа n (читається n-факторіал) називається функція, яка визначена на множині цілих невідємних чисел і ставить у відповідність даному числу n добуток всіх натуральних чисел від 1 до n включно.

Перестановкою з n елементів називають такі порядковані множини з n елементів, які відрізняються між собою порядком їх розміщення

5. Розміщення, комбінації та їх властивості Розміщенням із n елементів по m (0 m n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: = n! /(n-m)! Комбінаціями з n елементів по m (0 m n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: = n! / m!(n-m)!

Основні властивості розміщень:

1) ;

2)

Властивості комбінацій: 1)

2)

3)

4)

5)

6. Операції над подіями, приклади 1. Додавання. Сумою подій А і В називається така подія С, яка відбувається тоді коли, відбувається хоча б одна з подій А або В С=А+В (С=АВ), Операція АВ називається об’єднанням подій А і В

Наприклад, якщо подія А є влучення в ціль при першому пострілі, подія В – при другому, то подія С = А + В є влучення в ціль взагалі, байдуже, при якому пострілі – першому, другому або при обох разом.

.Множення.

Добутком подій А і В називається така подія С=АВ (С=АВ), яка відбувається тоді, коли відбувається подія А і В одночасно.

Операція АВ називається перерізом подій А і В:

Наприклад, якщо подія А є влучення в ціль при першому пострілі, подія В – при другому, то подія С = АВ полягає в тому, що в цілі влучили при обох пострілах.

Віднімання.

Різницею подій А і В називається така подія С=А-В (С=А\В), яка відбувається тоді, коли відбувається подія А і не відбувається подія В