11. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
n – мерное пространство.
Vn – базис, состоящий из n векторов.
В пространстве
есть базисы
Введем матрицу
перехода от
к
.
12.Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.
13. Векторное произведение векторов и его свойства.
Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.
Векторным
произведением
вектора
на вектор
называется
вектор
,
который:
Перпендикулярен векторам и .
Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и .
,
где
Векторы , и образуют правую тройку векторов.
Свойства:
14. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанное произведение
записывают в виде:
.
Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.
Свойства.
Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:
Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.
Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.
Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.
Три
вектора называются компланарными, если
результат смешанного произведения
равен нулю.
15. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми.
Векторное уравнение прямой.
Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.
Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0;y0;z0) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M0 через r и r0.
Тогда уравнение
прямой запишется в виде:
где t – скалярный множитель (параметр).
17. Уравнение прямой (на плоскости), уравнение плоскости в отрезках.
Любая точка и любой вектор на плоскости имеет 2 координаты х, у. Любой вектор параллельный заданной прямой называется направляющим вектором. Он обозначается Координаты (m,n).Любой вектор перпендикулярен прямой называется нормальный вектор прямой и их тоже бесконечно много, они параллельны между собой. N=(A,В). Уравнение прямой на плоскости:
А х (х – х0) + B (у – у0)=0
Уравнение прямой в отрезках: х/а + у/б = 1, где: а,б – величины отрезка которая прямая отсекает на осях координат. ОХ, ОУ – Соответственно.
Уравнение плоскости в отрезках: х/а + у/х + z/с = 1, где: асб –величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат ОХ, ОУ, ОZ соответственно.
Канонические уравнения прямой.
S(m;n;p)
– направляющий вектор прямой L.
M0(x0;y0;z0)
– точка на прямой.
соединяет
M0
с произвольной
точкой М.
18.Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
M1(x1;y1;z1) M2(x2;y2;z2)
В качестве
направляющего вектора можно задать
вектор
Следовательно:
,
тогда
16.Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:
Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то направляющий вектор запишется как векторное произведение:
Угол между прямыми.
;
19. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве, заданной точкой и направляющим вектором.
Любая точка и любой вектор на плоскости имеет 2 координаты х, у. Любой вектор параллельный заданной прямой называется направляющим вектором. Он обозначается Координаты (m,n).Любой вектор перпендикулярен прямой называется нормальный вектор прямой и их тоже бесконечно много, они параллельны между собой. N=(A,В). Уравнение прямой на плоскости:
А х (х – х0) + B (у – у0)=0
Уравнение прямой в пространстве:
А1* х + Б1* у + С1* z +Д1 = 0 – плоскость 1.
А2* х + Б2* у + С2* z +Д2 = 0 – плоскость 2.
20.Уравнение плоскости, проходящей через три точки
К (х1;у1) М (х2;у2) N (x3;y3)
Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).
Составим векторы:
Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:
17.Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:
;
; 
Нормальное уравнение плоскости.
