Криволинейные интегралы 2-го рода. Определение, свойства и вычисление.
Решение задачи о вычислении работы переменной силы по перемещению материальной точки вдоль некоторой кривой АВ приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода.
Криволинейный
интеграл второго рода определяется по
аналогии с криволинейным интегралом
первого рода, только в данном случае
составляются интегральные суммы по
осям ОХ и OY
в отдельности, т.е. рассмотрим проекции
разбиения кривой. Соответственно на
оси ОХ и OY,
тогда криволинейный интеграл второго
рода принимает следующий вид:
Для вычисления полученного интеграла пользуются следующим равенством:
Если
кривая задана в пространстве, то интеграл
второго рода имеет следующий вид:
Теорема:
Если кривая АВ гладкая и функции непрерывны на кривой АВ, то криволинейный интеграл второго рода существует.
Свойства криволинейного интеграла второго рода:
Во многом совпадают со свойствами криволинейного интеграла первого рода, кроме первого свойства:
криволинейный
интеграл второго рода при смене пути
(направления) меняет знак на
противоположный.Пусть АВС=АВ+ВС
Теорема о среднем значении: Если f(x;y) непрерывна на плоскости АВ, то на этой плоскости существует точка с координатами
,
такая что
Площадь произвольной поверхности. Интегралы по площади поверхности. Свойства и вычисления.
П
оверхностный
интеграл первого рода является таким
же обобщением двойного интеграла, как
криволинейный интеграл первого рода
по отношению к определённому интегралу.
Пусть S -
поверхность в трёхмерномпространствеOxyz,
а F(x,y,z) -
непрерывная функция, определённая в
точках этой поверхности. Поверхность S сетью
линий разобьём на n участков ΔS1,
ΔS2, ...., ΔSi, ..., ΔSn,
не имеющих общих внутренних точек (рис.
3.8). Площади "элементарных" участков
обозначим теми же буквамиSi(i
= 1,...,n),
а наибольший из диаметров этих участков
- через λ На
каждом "элементарном"
участке ΔSiпроизвольным
образом выберем по точке Mi(xi,yi,zi)
(i = 1,...,n) и
составим сумму
которая
называется интегральной
суммой
для функции F(x,y,z) по
поверхности S.
Определение 3.3. Если существует
конечный предел
не зависящий от способа разбиения
поверхности S на
"элементарные" участки ΔSi и
от выбора точек Mi
ΔSi(i=1,....n),
то он называется поверхностным
интегралом первого рода от функции
f(x,y,z) по поверхности S и
обозначается
Поверхностные интегралы первого и второго рода. Поток векторного поля.
Обобщением второго интеграла является так называемый поверхностный интеграл.
Пусть в пространстве XOYZ задана некоторая поверхность. И пусть этой поверхностью определена непрерывная функция f(x;y;z).
Разобьем эту поверхность на n частей, обозначим площадь каждой части S1, S2, …Sn, где Si – площадь i-ой части.
Пусть di– диаметрi-ой части.
Выберем
в каждой i-ой
части точку
и составим интегральную сумму
,
т.е. сумму произведения значений функций
в выбранных точках на площадь
соответствующей части.
Если
существует предел полученного интеграла
суммы при
или
,
то он называется поверхностным
интегралом первого рода,
т.е.
Свойства поверхностного интеграла первого рода:
Если поверхность S можно представить как сумму двух поверхностей S1и S2, причем
;
,
то имеет место свойство:
Если на поверхности S выполнено неравенство
,
то
Площадь поверхности
Теорема о среднем значении: Если f(x;y;z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверхности существует точка с координатами
,
такая что
Вычисление поверхностного интеграла первого рода:
f
(x;y;z)
D – область, которая является проекцией поверхности S на ось ХОY.
z=z(x;y) выразить z из функций.
На плоскость XOZ:
Переход
На плоскость XOY:
Поверхностный интеграл второго рода:
Поверхностный интеграл второго рода строится по образцу криволинейного интеграла второго рода.
R(x;y;z) – YOZ
P(x;y;z) – XOZ
Q(x;y;z) –XOY
Свойства:
1. Поверхностный интеграл второго рода изменяет знак при смене стороны интегрирования (поверхности) внешней или внутренней.
2. Константу можно вынести за знак поверхностного интеграла второго рода.
Остальные свойства аналогичны поверхностному интегралу первого рода.
Поток векторного поля.
