9. Условный экстремум.

Пусть задана z = f(x,y) φ(x;y)=0, тогда для нахождения условного экстремума L(x;y;k)=f(x;y)+λφ(x;y), где λ – некоторая переменная.

В простейшем случае условным экстремумом функции f(х,y) называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением φ(х,у)=0 (уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции f(х,у) при наличии соотношения φ(х,у) = 0, составляют так называемую функцию ЛагранжаF(x,y)=f(x,y)+ λφ(x,y), где λ — неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа для испытуемой системы значений х, у, λ, полученной из системы при условии, что dхи dусвязаны уравнением .

Именно, функция f(х,y) имеет условный максимум, если d²F<0, и условный минимум, если d²F>0. В частности, если дискриминант Δ для функции F(х,у} в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f(х, у), если A<0 (илиС< 0), и условный минимум, если А > О (или С>0).

Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связи.

10. Двойные интегралы. Основные свойства. Вычисление в декартовых координатах.

Обобщением понятия интегрирования на случай двух переменных является двойной интеграл.

Пусть на плоскости ХОУ задана область D, имеющая площадь S. Разделим ее на n частей, соответствующая i-я часть будет иметь площадь ∆S_iи пусть d_i–диаметр каждой части. Выберем произвольным образом каждой части точку, т.е. М (х_i, у_i), тогда значение функции в выбранной точке f (х_i, у_i). Найдем сумму производных f (х₁, у₁) ∆S₁ +f (х₂, у₂) ∆S₂ +…+f (х_i, у_i) ∆S_i +f (х_n, у_n) ∆S_n= - интегральная сумма.

Найдем интеграл.

- наибольший из полученных диаметров, т.е.

Если этот предел существует и не зависит от способа разделения на части от области D, то он называется двойным интегралом функции f(x;y)по области D.

.

Теорема. Если функция f(x;y) непрерывна в области D, тогда двойной интеграл существует в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Разобьем область D на n частей и построим столбики для каждой части. Очевидно, что объем нашей цилиндрической поверхности равен сумме объемов каждого столбика . Объем столбика: , если , где d – наибольший из полученных диаметров или высота h=z.

Физический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластины

П лощадь S поверхностная плотность . Разобьем нашу область на n частей. Если , тогда каждую i-ю часть можно считать однородной по плотности.

Сумма произведений

Если предел этой суммы существует – это есть двойной интеграл от функции по области D.

Свойства двойного интеграла.

1. 

2. 

3. Пусть область D=D1+D2 есть объединение двух областей D1 и D2, причем общей является лишь граница этих областей.

Или

Если область D разделена на две подобласти, то (свойство 2 и 3 для определенного количества интегралов)

4. Если в области Df(x;y)≥0 (непрерывна), или принимает неотрицательные значения, то интеграл в этой области тоже неотрицательный: . Если f(x;y)≥φ(x;y), то

5. Если f(x;y)=1, то численно равен площади этой области.

6. Пусть m и M – наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x;y), заданной области D, тогда имеет место следующее двойное неравенство:

7. Пусть f(x;y) непрерывна в области D, тогда в этой области существует точка с координатами , такая, что имеет место следующее равенство:

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.