5. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Геометрический смысл дифференциала.

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности для функции, заданной в явном виде.

Если уравнение поверхности задано z = f(x,y), то уравнение касательной плоскости в точке вычисляется по следующей формуле: Уравнение нормали: .

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности для функции, заданной в неявном виде.

Для случая, когда функция задана в неявном виде, т.е. f(x;y)=0 в точке уравнение касательной плоскости выглядит так: Уравнение нормали: .

Геометрический смысл дифференцируемости.

 Рассмотрим поверхность S: z = f(x,y), дифференцируемую в т.  S.

Определение 1. Плоскость, проходящая через т. М₀ , называется касательной плоскостью  к поверхности S в т.М₀ , если угол между ней и секущей (М₀М₁) ( ) стремится к нулю при  .

Определение 2. Вектор, ортогональный к касательной плоскости в т.М₀ , называется нормальным вектором к поверхности в этой точке. Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая через т.М₀  перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

  Обозначим  , . Вектор приращения:   

  Из условия дифференцируемости функции  z  следует, что  

  Рассмотрим плоскость   и угол φ между секущей и этой плоскостью:   при  Отсюда сразу следует, что плоскость П – касательная к поверхности в т.М₀. В результате имеем:  

Функция  z = f(x,y), дифференцируемая в некоторой точке (х₀,у₀) имеет в соответствующей т.М₀ касательную плоскость:   и нормальный вектор 

6. Производная по направлению. Связь с частными производными. Геометрический и физический смысл. Градиент и его свойства.

Пусть функция u = f (x, y, z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M(x,y,z) и проведем из нее вектор S, направляющие косинусы которого cosα, cosβ, cosγ. На векторе S на расстоянии Δs от его начала найдем точку М₁(х+Δх, у+Δу, z+Δz), где

Представим полное приращение функции f в виде:

где

После деления на Δs получаем:

.

Поскольку предыдущее равенство можно переписать в виде:

(4.6)

Определение. Предел отношения при называетсяпроизводной от функции u = f (x, y, z) по направлению вектора S и обозначается .

При этом из (4.6) получаем:

(4.7)

Замечание 1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при получаем:

.

Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями х = х₀и у = у₀. Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению l в точке М(х₀ , у₀) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси Oz и прямой l.

Определение. Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x, y, z) в этой точке, называется градиентом функции u = f (x, y, z).

Обозначение: gradu = .

Свойства градиента.

1. Производная по направлению некоторого вектора Sравняется проекции вектора gradu на вектор S.

Доказательство. Единичный вектор направления S имеет вид e_S ={cosα, cosβ, cosγ}, поэтому правая часть формулы (4.7) представляет собой скалярное произведение векторов gradu и e_s, то есть указанную проекцию.

2. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |gradu|, если это направление совпадает с направлением градиента. Доказательство. Обозначим угол между векторами Sи graduчерез φ. Тогда из свойства 1 следует, что |gradu|∙cosφ, (4.8) следовательно, ее наибольшее значение достигается при φ=0 и равно |gradu|.

3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору gradu, равна нулю.

Доказательство. В этом случае в формуле (4.8)

Если z = f (x,y) – функция двух переменных, то gradf = направлен перпендикулярно к линии уровня f (x,y) = c, проходящей через данную точку.