34. Вычеты, их вычисление. Основная теорема теории вычетов.

35. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

Пусть функция   аналитична в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек  , лежащих в верхней полуплоскости. При этих условиях мы рассмотрим способы вычисления интегралов

,  .

Теорема 1. Пусть функция   удовлетворяет перечисленным выше условиям и, кроме того,   при  , где   и   - достаточно большое число. Тогда

.          (1)

Доказательство. Опишем полуокружность   (ориентированную против часовой стрелки) радиуса   с центром в точке   так, чтобы все особые точки функции   попали внутрь   (рис. 149). В силу теоремы 1 § 6.13

.                (2)

Рис. 149

Так как   при  , то

,    .

Переходя к пределу в равенстве (2) при  , получим (1).

Теорема 2. Пусть функция  удовлетворяет условиям, отмеченным в начале параграфа и  равномерно относительно . Тогда

.                         (3)

Доказательство. Так же как при доказательстве теоремы 1, имеем

                (4)

(функция  имеет те же особенности, что и ).

Нам нужно доказать, что при  интеграл  стремится к нулю. Имеем

.

В силу условия теоремы  при  для всех  ( ) и достаточно большого . Поэтому ( при )

       .

Переходя к пределу в (4), при получаем (3).

Если функция  имеет особенности на действительной оси, то специальным построением контура интегрирования можно вычислить соответствующие интегралы, если они существуют.