29. Элементарные функции комплексной переменной.

Основные элементарные функции комплексной переменной:

1. Показательная функция – называется функция вида или .

Для показательной функции комплексного переменного выполняются все правила показательной функции действительного переменного.

Отметим, что при не имеет смысла. Если в записи комплексного числа z=x+iyсчитать, что x=0, а , то получим - формула Эйлера.

Показательная функция комплексного переменного является периодической функцией с периодом .

Показательная функция комплексного переменного может принимать отрицательные значения, например .

2. Логарифмическая функция – является обратной к показательной функции. Число ω – называется log числа z≠0, если и обозначается .

Функция является многозначной функцией и множество ее значений при k=0 определяем однозначную ветвь логарифмической функции комплексного числа. Тогда получим функцию, называемую главным значением логарифмической функции и обозначается , где .

Все свойства и правила вычисления логарифмической функции действительной переменной имеют место и для функции комплексного переменного.

3. Степенная функция.

И если известна тригонометрическая функция записи числа

- формула Муавра.

Пусть , тогда имеет место следующая формула:

Функция является многозначной функцией.

4. Тригонометрическая функцияопределяется следующими формулами:

; ;

Эти формулы имеют место и для функции комплексного переменного.

5. Гиперболическая функция.

Эти функции определяются следующими свойствами:

; ;

; ;

Аналогично с функцией действительного переменного можно определить обратные тригонометрические функции.

30. Функции комплексной переменной. Предел, непрерывность. Геометрический смысл.

31. Аналитические функции. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл производной.

Условие Коши-Римана.

32. Интегрирование функций комплексной переменной. Теорема Коши.

33. Интегральная формула Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Разложение в степенной ряд.

Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.

Запишем интегральную формулу Коши в переменных z, t: . Продифференцируем эту формулу по z: (на самом деле законность дифференцирования интеграла по параметру z требует обоснования; мы примем этот факт без доказательства). Продолжим дифференцирование: ; , и вообще . Следовательно:         Если функция f(z) имеет в каждой точке области D производную первого порядка ( т.е. аналитична в области D), то она имеет в этой области производную любого порядка (т.е. любая производная функции f(z) аналитична в области D). Это свойство существенно отличает аналитические ФКП от дифференцируемых функций действительной переменной.