7.1. Классическая содержательная постановка лп

            Рассмотрим пару симметрических двойственных задач

                     

Любую задачу ЛП в стандартной форме (I) с экономической точки зрения можно рассматривать как задачу о распределении ограниченных ресурсов

                                   

между n технологическими процессами.

            Рассмотрим одну из возможных содержательных постановок задачи (I).

            Пусть из ресурсов m разных видов изготавливается n видов продукции. Пусть    - объем имеющегося в наличии ресурса, i=1,...,m;

                 -  объем производимого j-го продукта j=1,...,n;

                -  объем расхода i-го ресурса на единицу j-го вида продукции, i=1,...,m, j=1,...,n;

               - прибыль, ожидаемая от реализации единицы j-го вида продукции j=1,...,n.

            На поставленной модели ставится задача: найти план выпуска продукции, который обеспечивал бы максимум дохода.

7.2 Экономическая интерпретация двойственной задачи

            Для проведения содержательной интерпретации двойственной задачи (II) свяжем переменные двойственной задачи

            

            Пусть L* - максимальное значение дохода в задаче (I). Если запасы ресурсов   , i=1,...,m изменить, то может измениться и максимальный доход L*. Это означает, что L* является функцией от ресурсов   , i=1,...,m, т.е.

                                   

            Рассмотрим отношение приращения дохода    к приращению i-го ресурса             ;

            Тогда по определению частной производной функции

                        

            Но по первой теореме двойственности оптимальное значение целевой функции прямой задачи совпадает с оптимальным значением целевой функции двойственной задачи

            

            Таким образом, оптимальное значение двойственной переменной                                                    

 числено равно дополнительному доходу    при увеличении   i-го ресурса на единицу, если величина    является достаточно малой по сравнению с величиной  Полученный вывод имеет очень важное практическое применение. Пусть L*- максимальное значение дохода в задаче (I),

            

Тогда, изменяя i-й ресурс  на единицу, получим новое значение максимального дохода по формуле

            

или более общий вид

                 

Двойственные переменные

                                   

называются оценками (теневыми ценами, ценностями) соответствующих ресурсов i=1,..., m, и характеризуют меру эффективности использования соответствующих ресурсов.

 

7.3 Экономическая интерпретация ограничений двойственной задачи.

            Рассмотрим j-е ограничение задачи (II)   

                        

            Вектор

                                               

является j-м столбцом матрицы А и характеризует технологический процесс производства j-й продукции, а именно,

  - это количество i-го ресурса i=1,..., m, необходимого для производства единицы j-й продукции.

            Поскольку

                - оценка единицы i-го ресурса, i=1,..., m, то сумма

            

необходимых для производства единицы j-й продукции. Так как

  - прибыль от реализации единицы j-й продукции, то разность

                        

характеризующая j- ограничение задачи (II), будет представлять собой приведенные издержки j-й продукции. Приведенные издержки характеризуют экономическую эффективность производства j-й продукции. Если приведенные издержки равны нулю, то производство j-й продукции эффективно, при ненулевых издержках

                        

производство j-й продукции убыточно.